Question

【題目】如果一個三角形能被一條線段分割成兩個等腰三角形，那么稱這條線段為這個三角形的特異線，稱這個三角形為特異三角形．

（1）如圖1，△ABC是等腰銳角三角形，AB=AC()，若∠ABC的角平分線BD交AC于點D，且BD是△ABC的一條特異線，則∠BDC=______度；

（2）如圖2，△ABC中，∠B=2∠C，線段AC的垂直平分線交AC于點D，交BC于點E．求證：AE是△ABC的一條特異線；

（3）如圖3，已知△ABC是特異三角形，且∠A=30°，∠B為鈍角，求出所有可能的∠B的度數（如有需要，可在答題卡相應位置另外畫圖）．

Answer 1

【答案】（1）72° （2）證明見解析；（3）135°或112.5°或140°．

【解析】試題分析：（1）只要證明△ABE，△AEC是等腰三角形即可．（2）如圖2中，當BD是特異線時，分三種情形討論，如圖3中，當AD是特異線時，AB=BD，AD=DC根據等腰三角形性質即可解決問題，當CD為特異線時，不合題意．

試題解析：（1）證明：如圖1中，

∵DE是線段AC的垂直平分線，

∴EA=EC，即△EAC是等腰三角形

∴∠EAC=∠C，

∴∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C，

∵∠B=2∠C，

∴∠AEB=∠B，即△EAB是等腰三角形，

∴AE是△ABC是一條特異線．

（2）如圖2中，

當BD是特異線時，如果AB=BD=DC，則∠ABC=∠ABD+∠DBC=120°=15°=135°，

如果AD=AB，DB=DC，則∠ABC=∠ABD+∠DBC=75°+37.5°=112.5°，

如果AD=DB，DC=CB，則∠ABC=∠ABD+∠DBC=30°+60°=90°（不合題意舍棄）．

如圖3中，當AD是特異線時，AB=BD，AD=DC，則∠ABC=180°-20°-20°=140°

當CD為特異線時，不合題意．

∴符合條件的∠ABC的度數為135°或112.5°或140°．