Question

【題目】數學興趣小組的同學們對函數的圖象和性質進行了探究，已知時，函數的圖象的對稱軸為直線，頂點在軸上，與軸的交點坐標為，探究過程如下，請補充過程：

（1） ， ， ．

（2）在給出的平面直角坐標系中，畫出函數圖象，并寫出這個函數的一條性質： ．

（3）進一步探究函數圖象并解決問題：

①若有三個實數解，則的取值范圍為： ．

②若函數的圖象與該函數有三個交點，則的取值范圍為： ．

Answer 1

【答案】（1），，；（2）圖詳見解析；性質不唯一，詳見解析；（3）①；②

【解析】

（1）根據函數的圖象的對稱軸為直線，頂點在軸上，與軸的交點坐標為，得到關于a，b，c的方程組，解方程即可；

（2）根據題意，分別畫出當x≤1，x＞1，時兩部分的圖像，并結合圖像任意寫出一條性質即可；

（3）①根據函數圖像，畫出，根據圖像確定即可；

②與該函數有三個交點，根據函數圖象，當的圖象經過點時，此時最大，為；當的圖象與二次函數的圖象相切時，此為另一種臨界情況，直線與圖像有兩個交點，聯立方程組，，求出n，問題得解．

解：（1）由題意得的圖象對稱軸為直線，經過，

則，解得

∴，，

（2）函數圖像如圖:

性質：當時，隨的增大而減小；

當時，隨的增大而增大；

當時，隨的增大而減小．

當時，函數有最小值為0；

（3）①有三個解，即函數圖像與直線有三個交點

，當直線為直線或在其下方且在軸上方時，與函數圖象有三個交點，

因此：

②

與該函數有三個交點，根據函數圖象，

當的圖象經過點時，此時最大，為；

當的圖象與二次函數的圖象相切時，此為另一種臨界情況．

聯立解析式，

得，由，得，

因此：．