Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，我們把以拋物線上的動點A為頂點的拋物線叫做這條拋物線的“子拋物線”．如圖，已知某條“子拋物線”的二次項系數為，且與y軸交于點C．設點A的橫坐標為m（m＞0），過點A作y軸的垂線交y軸于點B．

（1）當m=1時，求這條“子拋物線”的解析式；

（2）用含m的代數式表示∠ACB的余切值；

（3）如果∠OAC=135°，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）m的值為2

【解析】

（1）先求出m=1時點A的坐標，進而可得到這條“子拋物線”的解析式；

（2）先根據A點坐標求出“子拋物線”的解析式和AB,OB的長度，然后令x = 0求出y值即可得到C點坐標，進而可求出BC的長度，最后利用即可求解；

（3）過O點作OD⊥CA的延長線于點D，過點D作y軸的平行線分別交BA的延長線于點E，交x軸于點F, 首先證明△AED≌△DFO，則有AE=DF，DE=OF，設AE=n，那么DF=n，BE= m + n=OF=ED，通過OB=EF得到，然后再通過得到，將兩個關于m,n的方程聯立即可求出m的值．

解：（1）∵點A在上，點A的橫坐標為m，

∴A（m，m2），

當m =1時， ，

∴A（1，1），

∴這條“子拋物線”的解析式為．

（2）由A（m，m2），且AB⊥y軸，可得AB=m，OB= m2．

∴“子拋物線”的解析式為．

令x = 0，，

∴點C的坐標（0，），，

∴．

在Rt△ABC中，

．

（3）如圖，過O點作OD⊥CA的延長線于點D，過點D作y軸的平行線分別交BA的延長線于點E，交x軸于點F．

∵∠OAC=135°，

∴∠OAD=45°．

又∵OD⊥CA，

∴∠AOD=∠OAD=45°，

∴AD=OD，

，

．

，

∴△AED≌△DFO，

∴AE=DF，DE=OF．

設AE=n，那么DF=n，BE= m + n=OF=ED．

又∵OB=EF，

∴．

又，

∴∠BCA=∠ADE，

∴．

解方程組，得，（舍去）

∴ m的值為2．