Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知點A坐標為（2，4），直線x=2與x軸相交于點B，連結OA，二次函數y=x2圖象從點O沿OA方向平移，與直線x=2交于點P，頂點M到A點時停止移動．

（1）求線段OA所在直線的函數解析式；
（2）設二次函數頂點M的橫坐標為m，當m為何值時，線段PB最短，并求出二次函數的表達式；
（3）當線段PB最短時，二次函數的圖象是否過點Q（a，a﹣1），并說理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設直線OA的解析式為y=kx，

∵A（2，4），

∴2k=4，解得k=2，

∴線段OA所在直線的函數解析式為y=2x；

（2）解：∵頂點M的橫坐標為m，且在OA上移動，

∴y=2m（0≤m≤2），

∴M（m，2m），

∴拋物線的解析式為y=（x﹣m）2+2m，

∴當x=2時，y=（2﹣m）2+2m=m2﹣2m+4（0≤m≤2），

∴PB=m2﹣2m+4=（m﹣1）2+3（0≤m≤2），

∴當m=1時，PB最短，

當PB最短時，拋物線的解析式為y=（x﹣1）2+2；

（3）解：若二次函數的圖象是過點Q（a，a﹣1）

則方程a﹣1=（a﹣1）2+2有解．

即方程a2﹣3a+4=0有解，

∵△=（﹣3）2﹣4×1×4=﹣7＜0．

∴二次函數的圖象不過點Q．

【解析】（1）利用待定系數法，由點A的坐標，即可求出直線OA的函數解析式。
（2）抓住已知二次函數y=x2圖象從點O沿OA方向平移，頂點M在此直線上，即可用含m的代數式表示出頂點M的坐標，可用頂點式來設二次函數的解析式，再將x=2代入拋物線的解析式中，即可求出點P的縱坐標即PB的表達式，求出其頂點坐標來求出PB最短時的m值。
（3）將點Q的坐標代入y=（x﹣1）2+2，再判斷此方程是否有解，即可作出判斷。
【考點精析】本題主要考查了正比例函數的圖象和性質和確定一次函數的表達式的相關知識點，需要掌握正比函數圖直線，經過一定過原點．K正一三負二四，變化趨勢記心間．K正左低右邊高，同大同小向爬山．K負左高右邊低，一大另小下山巒；確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法才能正確解答此題．