Question

【題目】如圖（1），△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分線相交于點O，過點O作EF∥BC交AB、AC于E、F。

①EF與BE、CF間有怎樣的數量關系?∠A與∠BOC怎樣的數量關系？說明理由。

②若AB≠AC，其他條件不變，如圖（2），圖中還有幾個等腰三角形嗎？如果有，第①問中EF與BE、CF間的關系還存在嗎？∠A與∠BOC的數量關系還存在嗎？

③若△ABC中，AB≠AC，∠B的平分線與三角形外角∠ACG的平分線CO交于O，過O點作OE∥BC交AB于E，交AC于F。如圖（3），EF與BE、CF間的關系如何？∠A與∠BOC的數量關系？說明理由.

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析；（3）答案見解析.

【解析】

（1）根據等腰三角形的性質，即可得出EF與BE、CF間有怎樣的關系，根據三角形內角和定理及角平分線的定義探索∠A與∠BOC的關系；

（2）根據EF∥BC 和∠B、∠C的平分線交于O點，還可以證明出△OBE和△OCF是等腰三角形；利用幾個等腰三角形的性質，即可得出EF與BE，CF的關系；

（3）EO∥BC和OB，OC分別是∠ABC與∠ACL的角平分線，還可以證明出△BEO和△CFO是等腰三角形，利用幾個等腰三角形的性質以及線段的和差關系，即可得出EF與BE，CF的關系，根據角平分線的性質及三角形外角的性質探索∠A與∠BOC的關系．

解：（1）如圖1，∵EF∥BC，

∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，

又∠B、∠C的平分線交于O點，

∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB，

∴∠EOB=∠OBE，∠FCO=∠FOC，

∴OE=BE，OF=CF，

∴EF=OE+OF=BE+CF．

又AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∴∠EOB=∠OBE=∠FCO=∠FOC，

∴EF=BE+CF=2BE=2CF；

∠BOC=90°+ ∠A．理由如下：

∵∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，

∴2∠BOC=360°-2∠OBC-2∠OCB，

而BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，

∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，

∴2∠BOC=360°-（∠ABC+∠ACB），

∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，

∴2∠BOC=180°+∠A，

∴∠BOC=90°+∠A．

（2）有2個等腰三角形，分別是：等腰△OBE和等腰△OCF；第（1）問中的關系EF=BE+CF仍成立．

理由：如圖2，∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，

∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB，

∵EF∥BC，

∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，

∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，

∴BE=OE，CF=OF，

∴△BEO和△CFO是等腰三角形；

∵BE=OE，CF=OF，

∴EF=EO+FO=BE+CF；

∠BOC=90°+ ∠A．理由如下：

∵∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，

∴2∠BOC=360°-2∠OBC-2∠OCB，

而BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，

∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，

∴2∠BOC=360°-（∠ABC+∠ACB），

∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，

∴2∠BOC=180°+∠A，

∴∠BOC=90°+∠A．

（3）如圖3，∵EO∥BC，

∴∠EOB=∠OBC，∠EOC=∠OCD，

又∵OB，OC分別是∠ABC與∠ACD的角平分線，

∴∠EBO=∠OBC，∠ACO=∠OCD，

∴∠EOB=∠EBO，

∴BE=OE，

∠FCO=∠FOC，

∴CF=FO，

又∵EO=EF+FO，

∴EF=BE-CF．

∠BOC= ∠A．理由如下：

∵∠OCG=∠BOC+∠OBC，∠ACG=∠ABC+∠A，

而BO平分∠ABC，CO平分∠ACG，

∴∠ACG=2∠OCG，∠ABC=2∠OBC，

∴2∠BOC+2∠OBC=∠ABC+∠A，

∴2∠BOC=∠A，

即∠BOC= ∠A．