Question

【題目】如圖1，直線m與直線n垂直相交于O，點A在直線m上運動，點B 在直線n上運動，AC、BC分別是∠BAO和∠ABO的角平分線．

（1）求∠ACB的大小；

（2）如圖2，若BD是△AOB的外角∠OBE的角平分線，BD與AC相交于點D，點A、B在運動的過程中，∠ADB的大小是否會發生變化？若發生變化，請說明理由；若不發生變化，試求出其值；

（3）如圖3，過C作直線與AB交于F，且滿足∠AGO－∠BCF=45°，求證：CF∥OB．

Answer 1

【答案】（1）135°；（2）45°；（3）證明見解析.

【解析】

（1）根據角平分線的性質得到∠OAC =∠CAB，∠ABC＝∠GBC，根據三角形的內角和得到∠OAB+∠ABO＝90°，即可求出∠CAB+∠ABC的度數，根據三角形的內角和即可求解.

（2）根據角平分線的性質得到∠GBD=∠EBD，則∠CBD=∠GBC+∠GBD=（∠ABG+∠GBE）=90°，根據∠ACB=135°即可求出∠ADB的大小.

（3）根據三角形外角的性質得到∠AGO=∠GCB+∠GBC=45°+∠GBC，∠AGO－∠BCF=45°，可得到∠GBC=∠BCF，即可證明.

（1）∵AC、BC分別是∠BAO和∠ABO角的平分線，

∴∠OAC =∠CAB，∠ABC＝∠GBC，

∵m⊥n，

∴∠AOB＝90°，

∴∠ACB=180°－（∠CAB+∠ABC）

=180°－（∠OAB+∠ABO）=180°－×90° =135°.

（2）∵BD是∠OBE角的平分線，∴∠GBD=∠EBD，

∴∠CBD=∠GBC+∠GBD=（∠ABG+∠GBE）=90°，

又∵∠ACB=135°，∴∠DCB=45°，

∴∠ADB=180°－∠CBD －∠DCB=45°

點A、B在運動的過程中，∠ADB不發生變化，其值為45°.

（3）∵∠AGO=∠GCB+∠GBC=45°+∠GBC，

又已知：∠AGO－∠BCF=45°，

∴ 45°+∠GBC－∠BCF=45°，

∠GBC=∠BCF，∴CF∥OB.