Question

【題目】如圖，點P是正方形ABCD的對角線BD上一點，PE⊥BC于點E，PF⊥CD于點F，連接EF.給出下列五個結論：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP；⑤PD＝EC.其中正確結論的序號是____________．

Answer 1

【答案】①②④⑤

【解析】連接PC，

（1）∵PE⊥BC于點E，PF⊥CD于點F，∠C=90°可得四邊形PECF是矩形，

∴CP=EF，

∵正方形ABCD關于BD對稱，點P在BD上，

∴AP=CP，

∴AP=EF，故①正確；

（2）延長AP交EF于點H，過點P作PM⊥AB于點M，則由已知易得PM=PE，∠PMA=∠EPF=90°，結合AP=EF，可得△APM≌△FEP，

∴∠EFP=∠PAM，

∵∠PAM+∠APM=90°，∠APM=∠FPH，

∴∠FPH+∠EFP=90°，

∴∠PHF=90°，

∴AP⊥EF，即②正確；

（3）∵當點P在BD上不同的位置時，△APD的形狀不一樣，

∴△APD不一定是等腰三角形，故③錯誤；

（4）由（2）可知△APM≌△FEP,

∴∠BAP=∠PFE，故④正確；

（5）如圖，由已知易得∠BDF=45°，∠DFP=90°，

∴PD=PF，

又∵PF=CE，

∴PD=CE，故⑤正確.

綜上所述，上述5個結論中，正確的是①②④⑤.