Question

【題目】如圖，Rt△OAB如圖所示放置在平面直角坐標系中，直角邊OA與x軸重合，∠OAB=90°，OA=4，AB=2，把Rt△OAB繞點O逆針旋轉90°，點B旋轉到點C的位置，一條拋物找正好經過點O，C，A三點．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）在x軸上方的拋物線上有一動點P，過點P作x軸的平行線交拋物線于點D，分別過點P，點D作x軸的垂線，交x軸于R，S兩點，問：四邊形PRSD的周長是否有最大值？如果有，請求出最值，并寫出解答過程；如果沒有，請說明理由．

（3）如圖2，把點B向下平移兩個單位得到點T，過O，T兩點作⊙Q交x軸，y軸于E，F兩點，若M、N分別為弧、的中點，作MG⊥EF，NH⊥EF，垂足為G、H，試求MG+NH的值．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+4x；（2）當a=1時，矩形PEFM的周長有最大值10；（3）MG+NH=4．

【解析】

（1）根據旋轉變換的性質求出點C的坐標，利用待定系數法求出拋物線的解析式；
（2）設點P的坐標為P（a，-a2+4a），根據拋物線的對稱性求出RS，根據二次函數的性質計算；
（3）作TK⊥x軸于K，TJ⊥y軸于J，連接TF，TE，延長NH交⊙Q于R，證明△ETK≌△FTJ，根據全等三角形的性質得到EK=FJ，得到OE+OF=8，根據垂徑定理得到NH=NR=OF，計算即可．

解：（1）設y=ax2+bx+c，

∵OA=4，AB=2，

∴點A的坐標為（4，0），點B的坐標為（4，-2），

△AOB繞點O逆時針旋轉90°，點B旋轉到點C的位置，

∴點C的坐標為（2，4），

則

解得．

所以拋物線的解析式為y=-x2+4x；

（2）有最大值．

理由如下：設點P的坐標為P（a，-a2+4a），PR=DS=-a2+4a，

由拋物線的對稱性知OR=AS，RS=PD=4-2a，

矩形PRSD的周長=2[4-2a+（-a2+4a）]=-2（a-1）2+10，

所以當a=1時，矩形PEFM的周長有最大值10；

（3）作TK⊥x軸于K，TJ⊥y軸于J，連接TF，TE，延長NH交⊙Q于R，

由題意得，點T的坐標為（4，-4，），即TJ=TK=4，

∴點T在∠EOF的平分線上，

∴=

∴TE=TF，

在Rt△TKE和Rt△TJF中，

，

∴△ETK≌△FTJ（HL），

∴EK=FJ，∠EOF=∠KTJ=90°，

∴OE+OF=OK-EK+OJ+FJ=OJ+OK=8，

∴EF為⊙Q的直徑，

∴=，

∵N為的中點，

∴=，

∴=，

∴NR=OF，

∴NH=NR=OF，

同理MG=OE，

∴MG+NH=（OE+OF）=×8=4．