Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣（x﹣1）2+c與x軸交于A，B（A，B分別在y軸的左右兩側）兩點，與y軸的正半軸交于點C，頂點為D，已知A（﹣1，0）．

（1）求點B，C的坐標；

（2）判斷△CDB的形狀并說明理由；

（3）將△COB沿x軸向右平移t個單位長度（0＜t＜3）得到△QPE．△QPE與△CDB重疊部分（如圖中陰影部分）面積為S，求S與t的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（1）∵點A（﹣1，0）在拋物線y=﹣（x﹣1）2+c上，

∴0=﹣（﹣1﹣1）2+c，解得c=4。

∴拋物線解析式為：y=﹣（x﹣1）2+4。

令x=0，得y=3，∴C（0，3）；

令y=0，得x=﹣1或x=3，∴B（3，0）。

（2）△CDB為直角三角形。理由如下：

由拋物線解析式，得頂點D的坐標為（1，4）。

如答圖1所示，過點D作DM⊥x軸于點M，

則OM=1，DM=4，BM=OB﹣OM=2。

過點C作CN⊥DM于點N，

則CN=1，DN=DM﹣MN=DM﹣OC=1。

在Rt△OBC中，由勾股定理得：；

在Rt△CND中，由勾股定理得：；

在Rt△BMD中，由勾股定理得：。

∵BC2+CD2=BD2，∴根據勾股定理的逆定理，得△CDB為直角三角形。

（3）設直線BC的解析式為y=kx+b，

∵B（3，0），C（0，3），∴，解得。

∴直線BC的解析式為y=﹣x+3。

∵直線QE是直線BC向右平移t個單位得到，

∴直線QE的解析式為：y=﹣（x﹣t）+3=﹣x+3+t。

設直線BD的解析式為y=mx+m，

∵B（3，0），D（1，4），∴，解得：。

∴直線BD的解析式為y=﹣2x+6。

連接CQ并延長，射線CQ交BD于點G，則G（，3）。

在△COB向右平移的過程中：

①當0＜t≤時，如答圖2所示：

設PQ與BC交于點K，可得QK=CQ=t，PB=PK=3﹣t．

設QE與BD的交點為F，

則：，解得，∴F（3﹣t，2t）。

∴S=S△QPE﹣S△PBK﹣S△FBE

=PEPQ﹣PBPK﹣BEyF

=×3×3﹣（3﹣t）2﹣t2t=。②當＜t＜3時，如答圖3所示，

設PQ分別與BC、BD交于點K、點J，

∵CQ=t，∴KQ=t，PK=PB=3﹣t。

直線BD解析式為y=﹣2x+6，令x=t，得y=6﹣2t。∴J（t，6﹣2t）。

∴S=S△PBJ﹣S△PBK=PBPJ﹣PBPK=（3﹣t）（6﹣2t）﹣（3﹣t）2=t2﹣3t+。

綜上所述，S與t的函數關系式為：S=。

【解析】

試題（1）首先用待定系數法求出拋物線的解析式，然后進一步確定點B，C的坐標。

（2）分別求出△CDB三邊的長度，利用勾股定理的逆定理判定△CDB為直角三角形。

（3）△COB沿x軸向右平移過程中，分兩個階段：

①當0＜t≤時，如答圖2所示，此時重疊部分為一個四邊形；

②當＜t＜3時，如答圖3所示，此時重疊部分為一個三角形。