Question

【題目】如圖，已知A（3，m），B（﹣2，﹣3）是直線AB和某反比例函數的圖象的兩個交點．

（1）求直線AB和反比例函數的解析式；

（2）觀察圖象，直接寫出當x滿足什么范圍時，直線AB在雙曲線的下方；

（3）反比例函數的圖象上是否存在點C，使得△OBC的面積等于△OAB的面積？如果不存在，說明理由；如果存在，求出滿足條件的所有點C的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=，y=x﹣1；（2）x＜﹣2或0＜x＜3時，直線AB在雙曲線的下方；（3）存在點C，點C的坐標為（﹣3，﹣2），（， ），（﹣，﹣）．

【解析】試題分析：（1）設反比例函數解析式為y=，將B點坐標代入，求出反比例函數解析式，將A點坐標代入反比例解析式求出m的值，確定出點A的坐標，設直線AB 的解析式為y=ax+b，將A與B的坐標代入一次函數解析式求出a與b的值，即可確定出一次函數解析式；

（2）根據圖像寫出答案即可；

（3）分3中情況求解，延長AO交雙曲線于點C1，由點A與點C1關于原點對稱，求出點點C1的坐標；如圖，過點C1作BO的平行線，交雙曲線于點C2，將OB的解析式與C1C2的解析式聯立，求出點C2的坐標；A作OB的平行線，交雙曲線于點C3，，將AC3的解析式與反比例函數的解析式聯立，求出點C3的坐標

解：（1）設反比例函數解析式為y=，

把B（﹣2，﹣3）代入，可得k=﹣2×（﹣3）=6，

∴反比例函數解析式為y=；

把A（3，m）代入y=，可得3m=6，

即m=2，

∴A（3，2），

設直線AB 的解析式為y=ax+b，

把A（3，2），B（﹣2，﹣3）代入，可得，

解得，

∴直線AB 的解析式為y=x﹣1；

（2）由題可得，當x滿足：x＜﹣2或0＜x＜3時，直線AB在雙曲線的下方；

（3）存在點C．

如圖所示，延長AO交雙曲線于點C1，

∵點A與點C1關于原點對稱，

∴AO=C1O，

∴△OBC1的面積等于△OAB的面積，

此時，點C1的坐標為（﹣3，﹣2）；

如圖，過點C1作BO的平行線，交雙曲線于點C2，則△OBC2的面積等于△OBC1的面積，

∴△OBC2的面積等于△OAB的面積，

由B（﹣2，﹣3）可得OB的解析式為y=x，

可設直線C1C2的解析式為y=x+b'，

把C1（﹣3，﹣2）代入，可得﹣2=×（﹣3）+b'，

解得b'=，

∴直線C1C2的解析式為y=x+，

解方程組，可得C2（，）；

如圖，過A作OB的平行線，交雙曲線于點C3，則△OBC3的面積等于△OBA的面積，

設直線AC3的解析式為y=x+ ，

把A（3，2）代入，可得2=×3+ ，

解得=﹣，

∴直線AC3的解析式為y=x﹣，

解方程組，可得C3（﹣，﹣）；

綜上所述，點C的坐標為（﹣3，﹣2），（，），（﹣，﹣）．