Question

【題目】設k是任意實數，討論關于x的方程|x2﹣1|＝x+k的解的個數．

Answer 1

【答案】答案見解析.

【解析】

先根據x的范圍去絕對值，（1）當x＞1或x＜﹣1，方程變為x2﹣x＝1+k，要求方程解的個數就是要二次函數y＝x2﹣x與直線y＝1+k的交點個數，可求出二次函數y＝x2﹣x的頂點（，-），且過（0，0），（1，0）兩點，則當1+k＜0，原方程無實根；當1+k≥2，原方程有兩個實根；當0≤1+k＜2，原方程有一個實根；當1+k＜0，原方程無實根．（2）當﹣1≤x≤1，方程變為x2+x＝1﹣k，和（1）的解法一樣求出k的范圍．

解：（1）當x＞1或x＜﹣1，方程變為x2﹣x＝1+k，則方程解的個數就是二次函數y＝x2﹣x與直線y＝1+k的交點個數，二次函數y＝x2﹣x的頂點（，-），且過（0，0），（1，0）兩點．

當0≤1+k＜2，即﹣1≤k＜1，二次函數y＝x2﹣x與直線y＝1+k在所在范圍有一個交點，所以原方程有一個實根；

當1+k≥2，即k≥1，二次函數y＝x2﹣x與直線y＝1+k在所在范圍有兩個交點，所以原方程有兩個實根；

當1+k＜0，即k＜﹣1，二次函數y＝x2﹣x與直線y＝1+k無交點，所以原方程無實根．

（2）當﹣1≤x≤1，方程變為x2+x＝1﹣k，則方程解的個數就是二次函數y＝x2+x與直線y＝1﹣k的交點個數，二次函數y＝x2+x的頂點（-，-），且過（0，0），（﹣1，0）兩點．

當1﹣k＞0，即k＜1，二次函數y＝x2+x與直線y＝1﹣k在所在范圍無交點，所以原方程無實根；

當-＜1﹣k≤0，即1≤k＜，二次函數y＝x2+x與直線y＝1﹣k有兩個交點，所以原方程有兩個實根；

當1﹣k＝-，即k＝，二次函數y＝x2+x與直線y＝1﹣k有一個交點，所以原方程有一個實根；

當1﹣k＜-，即k＞，二次函數y＝x2+x與直線y＝1﹣k沒有交點，所以原方程無實根．

所以當k＜﹣或﹣1＜k＜1或k＞時，原方程沒有實數根；當k＝﹣或k＝時，原方程只有一個實數根；當-＜k≤﹣1或1≤k＜時，原方程有兩個實數根．