Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCD的頂點A、B、C的坐標分別為（0，5）（0，2）（4，2），直線l的解析式為y = kx+5－4k（k > 0）．

（1）當直線l經過點B時，求一次函數的解析式；

（2）通過計算說明：不論k為何值，直線l總經過點D；

（3）直線l與y軸交于點M，點N是線段DM上的一點， 且△NBD為等腰三角形，試探究：

①當函數y = kx+5－4k為正比例函數時，點N的個數有 個；

②點M在不同位置時，k的取值會相應變化，點N的個數情況可能會改變，請直接寫出點N所有不同的個數情況以及相應的k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y =x+2；（2）說明見解析；（3）①2；②；當k≥2時，有3個點；當＜k＜2時，有2個點；當k=時，有0個；當0＜k＜時，有1個．

【解析】

（1）將點B坐標代入解析式求出k的值；

（2）將點D的坐標代入解析式，得出答案；

（3）根據圖形的平行法則求出零界值，然后進行分類．

解： （1）將點B（0，2）代入y=kx+5－4k得

∴y =x+2

（2）由題意可得：點D坐標為（4，5）

把x=4代入y=kx+5－4k得y=5 ∴不論k為何值，直線l總經點D；

（3）①當函數y=kx+5-4k為正比例函數時可得5-4k=0，解得k=，
∴直線解析式為y=x，則BM=2，如圖1所示，

以D為圓心BD為半徑畫圓，與DM有一交點，BD的垂直平分線與DM有一交點，
故滿足條件的點有兩個．
故答案為：2；
②∵k＞0，
∴5-4k＜5，
當5-4k=-3時，k=2，此時OM=3，則MB=5，如圖2所示，

分別以B、D為圓心BD為半徑畫圓，與DM交于點M和N1，和BD的垂直平分線交DM于點N2，故此時滿足條件的N點有3個，
當k＞2時，此時MB＞5，如圖3所示，

分別以B、D為圓心BD為半徑畫圓，與DM交于N1、N2兩點，BD的垂直平分線交DM于N3，
故滿足條件的點有3個，
∴當k≥2時，滿足條件的點有3個，
當＜k＜2時，此時0＜OB＜5，同理可得出滿足條件點有兩個，
當k=時，此時B、M重合，則滿足條件的N點有0個，
當0＜k＜時，即M在線段AB上時，同理可知滿足條件的點只有一個，
綜上可知當k≥2時，有3個；當＜k＜2時，有兩個；當k=時，有0個；當0＜k＜時，有1個．