Question

【題目】如圖（1），已知正方形ABCD在直線MN的上方，BC在直線MN上，E是BC上一點，以AE為邊在直線MN的上方作正方形AEFG．
（1）連接GD，求證：△ADG≌△ABE；
（2）連接FC，觀察并猜測∠FCN的度數，并說明理由；
（3）如圖（2），將圖（1）中正方形ABCD改為矩形ABCD，AB=a，BC=b（a、b為常數），E是線段BC上一動點（不含端點B、C），以AE為邊在直線MN的上方作矩形AEFG，使頂點G恰好落在射線CD上．判斷當點E由B向C運動時，∠FCN的大小是否總保持不變？若∠FCN的大小不變，請用含a、b的代數式表示tan∠FCN的值；若∠FCN的大小發生改變，請舉例說明．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形，

∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，

∴∠BAE+∠EAD=∠DAG+∠EAD，

∴∠BAE=∠DAG，

∴△BAE≌△DAG

（2）解：∠FCN=45°，

理由是：作FH⊥MN于H，

∵∠AEF=∠ABE=90°，

∴∠BAE+∠AEB=90°，∠FEH+∠AEB=90°，

∴∠FEH=∠BAE，

又∵AE=EF，∠EHF=∠EBA=90°，

∴△EFH≌△ABE，

∴FH=BE，EH=AB=BC，

∴CH=BE=FH，

∵∠FHC=90°，

∴∠FCN=45°

（3）解：當點E由B向C運動時，∠FCN的大小總保持不變，

理由是：作FH⊥MN于H，

由已知可得∠EAG=∠BAD=∠AEF=90°，

結合（1）（2）得∠FEH=∠BAE=∠DAG，

又∵G在射線CD上，

∠GDA=∠EHF=∠EBA=90°，

∴△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE，

∴EH=AD=BC=b，

∴CH=BE，

∴ ；

在Rt△FEH中，tan∠FCN= = = ，

∴當點E由B向C運動時，∠FCN的大小總保持不變，tan∠FCN= ．

【解析】（1）根據三角形判定方法進行證明即可．（2）作FH⊥MN于H．先證△ABE≌△EHF，得到對應邊相等，從而推出△CHF是等腰直角三角形，∠FCH的度數就可以求得了．（3）本題也是通過構建直角三角形來求度數，作FH⊥MN于H，∠FCH的正切值就是FH：CH．
【考點精析】本題主要考查了矩形的性質和正方形的性質的相關知識點，需要掌握矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等；正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形才能正確解答此題．