Question

【題目】二次函數（是常數，）的圖象與軸交于點和點（點在點的右側），與軸交于點，連接．

（1）用含的代數式表示點和點的坐標；

（2）垂直于軸的直線在點與點之間平行移動，且與拋物線和直線分別交于點，設點的橫坐標為，線段的長為．

①當時，求的值；

②若，則當為何值時，取得最大值，并求出這個最大值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）①3；②當時，取得最大值，最大值為．

【解析】

（1）縱坐標為0，橫坐標為0，將其直接代入二次函數y=（x-5）（x+m）即可求得坐標．

（2）①求p的值，通常利用表達式表示p，此時p恰為不含字母的式子．因為t=2，此時p=yN-yM，這里yM為點M的縱坐標，yN為點N的縱坐標；

②求最值也要首先表示p，不過發現因為C為拋物線與直線的交點，在-m≤t≤0，p=yM-yN，當0≤t≤5時，p=yN-yM．如此要分開討論最值，然后再綜合在一起，討論時不要遺漏題目中關于m的限制：0＜m≤1．

解：（1）令，得，

解得：，．

∵，

∴．

∵點在點的右側，

∴，．

令，得．

∴．

∴，．

（2）①設的函數關系式為：．

把代入，解得，

∴．∵，

∴點的縱坐標，

點的縱坐標．

∴．

②∵點的橫坐標為，線段的長為，

∴點的縱坐標，

點的縱坐標．

當時，．

當時，取得最大值為．

當時．

此二次函數圖象開口向上，對稱軸為直線，

∴在時，隨的增大而減小，

∴當時，取得最大值為．

設，為對稱軸，

∴當時，的值隨值的增大而增大．

∴時有最大值3．

∵，

∴當時，取得最大值，最大值為．