Question

【題目】如圖1，正方形ABCD的對角線AC，BD交于點O，將△COD繞點O逆時針旋轉得到△EOF（旋轉角為銳角），連AE，BF，DF，則AE=BF．

（1）如圖2，若（1）中的正方形為矩形，其他條件不變．

①探究AE與BF的數量關系，并證明你的結論；

②若BD=7，AE=，求DF的長；

（2）如圖3，若（1）中的正方形為平行四邊形，其他條件不變，且BD=10，AC=6，AE=5，請直接寫出DF的長．

Answer 1

【答案】（1）①AE=BF；證明見解析；②DF=；（2）DF=．

【解析】

（1）①利用矩形的性質，旋轉的性質得到∠BOF=∠AOE，證明△BOF≌△AOE可得結論，

②利用矩形性質與旋轉性質證明△BFD為直角三角形，從而可得答案，

（2）利用平行四邊形的性質與旋轉的性質，證明△AOE∽△BOF，求解BF，再證明△BDF是直角三角形，從而可得答案．

（1）①AE=BF，理由如下：

證明：∵ABCD為矩形，

∴AC=BD，OA=OB=OC=OD，

∵△COD繞點O旋轉得△EOF，

∴OC=OE，OD=OF，∠COE=∠DOF

∵∠BOD=∠AOC=180°

∴∠BOD-∠DOF=∠AOC-∠COE

即∠BOF=∠AOE

∴△BOF≌△AOE（SAS），

∴BF=AE

②∵OB=OD=OF，

∴∠BFD=90°

∴△BFD為直角三角形，

∴，

∵BF=AE

∴

∵BD=7，AE=

∴DF=

（2））∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴OC=OA=AC=3，OB=OD=BD=5，

∵將△COD繞點O按逆時針方向旋轉得到△FOE，

∴OC=OE，OD=OF，∠EOC=∠FOD

∴OA=OE，OB=OF，∠EOA=∠FOB

∴ ，且∠EOA=∠FOB

∴△AOE∽△BOF，

∴

∵OB=OF=OD

∴△BDF是直角三角形，

∴