Question

【題目】（11分）已知△ABC，分別以AB、BC、CA為邊向形外作等邊三角形ABD、等邊三角形BCE、等邊三角形ACF．

（1）如圖1，當△ABC是等邊三角形時，請你寫出滿足圖中條件，四個成立的結論；

（2）如圖2，當△ABC中只有∠ACB＝60°時，請你證明S△ABC與S△ABD的和等于S△BCE與S△ACF的和．

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，如：DE＝EF，DF＝EF，∠D＝∠E＝∠F，A、B、C分別為DF、DE、EF的中點；（2）見解析

【解析】試題分析：（1）由等邊三角形的性質可寫出結論．

（2）要證明以上結論，需創造一些條件，首先可從△ABC中分出一部分使得與△ACF的面積相等，則過A作AM∥FC交BC于M，連接DM、EM，就可創造出這樣的條件，然后再證其它的面積也相等即可．

試題解析：(1)DE=EF，DF=EF，∠D=∠E=∠F，A、B、C分別為DF、DE、EF的中點；

(2)過A作AM∥FC交BC于M，連接DM、EM，

∵∠ACB=60°,∠CAF=60°，

∴∠ACB=∠CAF，

∴AF∥MC，

∴四邊形AMCF是平行四邊形，

又∵FA=FC，

∴四邊形AMCF是菱形，

∴AC=CM=AM,且∠MAC=60，

∵在△BAC與△EMC中，

CA=CM，∠ACB=∠MCE，CB=CE，

∴△BAC≌△EMC，

∵∠DAM=∠DAB+∠BAM=60°+∠BAM，

∠BAC=∠MAC+∠BAM=60°+∠BAM，

∴∠BAC=∠DAM

在△ABC和△ADM中

AB=AD，∠BAC=∠DAM，AC=AM，

∴△ABC≌△ADM(SAS)

故△ABC≌△MEC≌△ADM，

在CB上截取CM，使CM=CA，

再連接AM、DM、EM

易證△AMC為等邊三角形，

在△ABC與△MEC中，

CA=CM，∠ACB=∠MCE，CB=CE，

∴△ABC≌△MEC(SAS)，

∴AB=ME，∠ABC=∠MEC，

又∵DB=AB，

∴DB=ME，

∵∠DBC=∠DBA+∠ABC=60°+∠ABC，

∠BME=∠BCE+∠MEC=60°+∠MEC，

∴∠DBC=∠BME，

∴DB∥ME，

即DB與ME平行且相等，故四邊形DBEM是平行四邊形，

∴四邊形DBEM是平行四邊形，

∴S△BDM+S△DAM+S△MAC=S△BEM+S△EMC+S△ACF，

即S△ABC+S△ABD=S△BCE+S△ACF.