Question

【題目】如圖

如圖1，四邊形ABCD和四邊形BCMD都是菱形，

（1）求證：∠M=60°

（2）如圖2，點E在邊AD上，點F在邊CM上，連接EF交CD于點H，若AE=MF，求證：EH=HF；

（3）如圖3，在第(2)小題的條件下，連接BH，若EF⊥CM，AB=3，求BH的長

Answer 1

【答案】（1）證明見解析 （2）證明見解析 （3）

【解析】

（1）利用菱形的四條邊相等，可證CD=DM=CM=AD，就可得到△CDM是等邊三角形，再利用等邊三角形的三個角都是60°，就可求出∠M的度數；

（2）過點E作EG∥CM交CD的延長線于點G，可得到∠G=∠HCF，先證明△EDG是等邊三角形，結合已知條件證明EG=CF，利用AAS證明△EGH≌△FCH，再根據全等三角形的對應邊相等，可證得結論；

（3）設BD，EF交于點N，根據前面的證明可知BD=CD=AB=3，∠M=∠CDM=60°，DE=CF，再利用垂直的定義及三角形內角和定理可求出∠HED，∠EHD的度數，從而利用等腰三角形的判定和性質，可證得ED=DH=CF，可推出CD=3DH，就可求出DH的長，然后利用解直角三角形分別求出BN，NH的長，再利用勾股定理就可求出BH的長.

（1）證明：∵ 四邊形ABCD和四邊形BCMD都是菱形，

∴BC=CD=AD，BC=DM=CM

∴CD=DM=CM=AD，

∴△CDM是等邊三角形，

∴∠M=60°。

（2）解： 如圖2，過點E作EG∥CM交CD的延長線于點G，

∴∠G=∠HCF=60°，∠GED=∠M=60°，

∴∠G=∠GED=∠EDG=60°，

∴△EDG是等邊三角形

∴EG=DE；

∵AD=CM，AE=MF，

∴DE=CF，

∴EG=CF；

在△EGH和△FCH中，

∴△EGH≌△FCH（AAS）

∴EH=FH.

（3）解： 如圖3，設BD，EF交于點N，

由（1）（2）的證明過程可知BD=CD=AB=3，∠M=∠CDM=60°，DE=CF，

∵EF⊥CM，

∴∠EFM=90°，

∴∠HED=90°-60°=30°，

∠CDM=∠HED+∠EHD=60°

∴∠EHD=60°-30°=30°=∠HED=∠CHF

∴ED=DH=CF，

在R△CHF中，∠CHF=30°

∴CH=2CH=2DH，

∴CD=CH+DH=3DH=3

解之：DH=CF=1

∵菱形CBDM，EF⊥CM

∴BD∥CM

∴EF⊥BD；

∴∠DNH=∠BNH=90°，

在Rt△DHN中，∠DHN=30°，DH=1

∴DN=DHsin∠30°=，

NH=DHcos30°=；

∴BN=BD-DN=3-=，

在Rt△BHN中，

BH=.