Question

【題目】一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師帶領(lǐng)學(xué)生去測(cè)一條南北流向的河寬，如圖所示，某學(xué)生在河?xùn)|岸點(diǎn)A處觀測(cè)到河對(duì)岸水邊有一點(diǎn)C，測(cè)得C在A北偏西31°的方向上，沿河岸向北前行40米到達(dá)B處，測(cè)得C在B北偏西45°的方向上，請(qǐng)你根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求這條河的寬度．（參考數(shù)值：tan31°≈ ）

Answer 1

【答案】解：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于D，

由題意∠DAC=31°，∠DBC=45°，

設(shè)CD=BD=x米，

則AD=AB+BD=（40+x）米，

在Rt△ACD中，tan∠DAC= ，

則 ，

解得x=60（米），

經(jīng)檢驗(yàn)得：x=60是原方程的根，

∴這條河的寬度為60米

【解析】根據(jù)已知添加輔助線過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于D，構(gòu)造Rt△CBD和Rt△CAD，根據(jù)題意可知CD=BD=x，然后在Rt△CAD，利用解直角三角形，建立關(guān)于x的方程，求解即可。
【考點(diǎn)精析】利用解直角三角形和關(guān)于方向角問(wèn)題對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知解直角三角形的依據(jù)：①邊的關(guān)系a2+b2=c2；②角的關(guān)系：A+B=90°；③邊角關(guān)系：三角函數(shù)的定義．(注意：盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法)；指北或指南方向線與目標(biāo)方向 線所成的小于90°的水平角，叫做方向角．