Question

【題目】已知正方形OABC在平面直角坐標系中，點A，C分別在x軸，y軸的正半軸上，等腰直角三角形OEF的直角頂點O在原點，E，F分別在OA，OC上，且OA＝4，OE＝2．將△OEF繞點O逆時針旋轉，得△OE1F1，點E，F旋轉后的對應點為E1，F1．

（Ⅰ）①如圖①，求E1F1的長；②如圖②，連接CF1，AE1，求證△OAE1≌△OCF1；

（Ⅱ）將△OEF繞點O逆時針旋轉一周，當OE1∥CF1時，求點E1的坐標（直接寫出結果即可）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）①2；②證明見解析；（Ⅱ）（1，）或（1，﹣）．

【解析】

（Ⅰ）①由等腰直角三角形的性質和勾股定理求出EF，再由旋轉的性質即可得出答案；②根據旋轉的性質找到相等的線段，根據SAS定理證明；

（Ⅱ）由于△OEF是等腰Rt△，若OE∥CF，那么CF必與OF垂直；在旋轉過程中，E、F的軌跡是以O為圓心，OE（或OF）長為半徑的圓，若CF⊥OF，那么CF必為⊙O的切線，且切點為F；可過C作⊙O的切線，那么這兩個切點都符合F點的要求，因此對應的E點也有兩個；在Rt△OFC中，OF＝2，OC＝OA＝4，可證得∠FCO＝30°，即∠EOC＝30°，已知了OE的長，通過解直角三角形，得到E點的坐標，由此得解．

（Ⅰ）①解：∵等腰直角三角形OEF的直角頂點O在原點，OE＝2，

∴∠EOF＝90°，OF＝OE＝2，

∴EF＝＝＝2，

∵將△OEF繞點O逆時針旋轉，得△OE1F1，

∴E1F1＝EF＝2；

②證明：∵四邊形OABC為正方形，

∴OC＝OA．

∵將△OEF繞點O逆時針旋轉，得△OE1F1，

∴∠AOE1＝∠COF1，

∵△OEF是等腰直角三角形，

∴△OE1F1是等腰直角三角形，

∴OE1＝OF1．

在△OAE1和△OCF1中，

∴△OAE1≌△OCF1（SAS）；

（Ⅱ）解：∵OE⊥OF，

∴過點F與OE平行的直線有且只有一條，并與OF垂直，

當三角板OEF繞O點逆時針旋轉一周時，

則點F在以O為圓心，以OF為半徑的圓上．

∴過點F與OF垂直的直線必是圓O的切線，

又點C是圓O外一點，過點C與圓O相切的直線有且只有2條，不妨設為CF1和CF2，

此時，E點分別在E1點和E2點，滿足CF1∥OE1，CF2∥OE2．

當切點F1在第二象限時，點E1在第一象限．

在直角三角形CF1O中，OC＝4，OF1＝2，

cos∠COF1＝＝＝，

∴∠COF1＝60°，

∴∠AOE1＝60°．

∴點E1的橫坐標＝2cos60°＝1，

點E1的縱坐標＝2sin60°＝，

∴點E1的坐標為（1，）；

當切點F2在第一象限時，點E2在第四象限．

同理可求：點E2的坐標為（1，﹣）．

綜上所述，當OE1∥CF1時，點E1的坐標為（1，）或（1，﹣）．