Question

【題目】如圖，過拋物線y= x2﹣2x上一點A作x軸的平行線，交拋物線于另一點B，交y軸于點C，已知點A的橫坐標為﹣2．

（1）求拋物線的對稱軸和點B的坐標；
（2）在AB上任取一點P，連結OP，作點C關于直線OP的對稱點D；
①連結BD，求BD的最小值；
②當點D落在拋物線的對稱軸上，且在x軸上方時，求直線PD的函數表達式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意A（﹣2，5），對稱軸x=﹣ =4，

∵A、B關于對稱軸對稱，

∴B（10，5）．

（2）

解：①如圖1中，

由題意點D在以O為圓心OC為半徑的圓上，

∴當O、D、B共線時，BD的最小值=OB﹣OD= ﹣5=5 ﹣5．

②如圖中，

當點D在對稱軸上時，在Rt△ODE中，OD=OC=5，OE=4，

∴DE= = =3，

∴點D的坐標為（4，3）．

設PC=PD=x，在Rt△PDK中，x2=（4﹣x）2+22，

∴x= ，

∴P（ ，5），

∴直線PD的解析式為y=﹣ x+ ．

【解析】（1）思想確定點A的坐標，利用對稱軸公式求出對稱軸，再根據對稱性可得點B坐標；（2）①由題意點D在以O為圓心OC為半徑的圓上，推出當O、D、B共線時，BD的最小值=OB﹣OD；②當點D在對稱軸上時，在Rt△OD=OC=5，OE=4，可得DE= = =3，求出P、D的坐標即可解決問題；
【考點精析】通過靈活運用拋物線與坐標軸的交點，掌握一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．即可以解答此題．