Question

【題目】△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠CAB交CD于F，CH⊥EF于H，連接DH，求證：

（1）EH=FH；
（2）∠CAB=2∠CDH．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵∠ACB=90°，CD⊥AB于D，

∴∠CAE+∠AEC=∠DAF+∠AFD=90°，

∴∠AFD=∠AEC，

∵∠AFD=∠CFE，

∴∠CFE=∠CEF，

∴CF=CE，

∵CH⊥EF，

∴HE=HF

（2）證明：∵∠ADF=∠CHF=90°，∠AFD=∠CFH，

∴△ADF∽△CFH，

∴ ，

∵∠AFC=∠DFH，

∴△AFC∽△DFH，

∴∠CAF=∠CDH，

∵∠CAD=2∠CAF，

∴∠CAB=2∠CDH．

【解析】（1）根據余角的性質得到∠AFD=∠AEC，證得∠CFE=∠CEF，得到CF=CE，根據等腰三角形的性質即可得到結論．（2）由于∠ADF=∠CHF=90°，∠AFD=∠CFH，得到△ADF∽△CFH，根據相似三角形的性質得到 ，由于∠AFC=∠DFH，得到△AFC∽△DFH，根據相似三角形的性質得到∠CAF=∠CDH，等量代換即可得到結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解相似三角形的判定與性質的相關知識，掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．