Question

【題目】如圖，拋物線與軸相交于，兩點，與軸相交于點，連接，已知，拋物線的對稱軸交軸于點．

備用圖

（1）求該拋物線的解析式；

（2）連接，能否在拋物線上找到一點，使得，若有求點的坐標，若沒有說明理由；

（3）若點為上方拋物線上一動點，過點作軸交于點，過點作，垂足為，當的周長最大時，求點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）和；（3）

【解析】

（1）由拋物線解析式可知點C坐標，由可知OB長，易得點B坐標，將點B坐標代入拋物線解析式可得該拋物線的解析式；

（2）分2種情況討論，①若，過點作，交于點，過點作軸于點，由作圖可得利用相似三角形對應線段成比例的性質及勾股定理可得點Q坐標，求出直線CQ的解析式，代入拋物線解析式易得點M坐標；②若，延長交于點，過點作軸于點，根據等邊三角形三線合一，，則，利用全等三角形的性質可得點H坐標，求出直線CH的解析式代入拋物線解析式可求得點M坐標；

（3）由題意可知，易知，當的周長最大只需最大即可，求出所在直線的解析式，設，則，可表示出，易知當時，最大，即的周長最大，把代入即可求出點P坐標.

解：（1）拋物線與軸相交于點，

點的坐標為，，

，點的坐標為

把代入得：

該拋物線的解析式為：

（2）如圖，若，過點作，交于點，過點作軸于點

拋物線的對稱軸交軸于點

由作圖可得：

設，則

在中，

在中，

，得

，可得：

，

所在直線的解析式為：

把代入解得：

（舍去），

把代入

得：

另一種情況：如圖，若，延長交于點，過點作軸于點，根據等邊三角形三線合一，，

則

，

，，

所在直線的解析式為：

把代入解得：

（舍去），

把代入得：

綜上所述，滿足條件的點有兩個，分別為：

和

（3）過點作軸交于點，過點作，垂足為，

在中，，，所以

的周長最大只需最大即可，

，

所在直線的解析式為：

點為上方拋物線上一動點，點在上，且軸

設，則

當時，最大，即的周長最大，

把代入得：

即當的周長最大時，點的坐標為．