Question

【題目】如圖，平行四邊形的對角線與相交于點，點為的中點，連接并延長交的延長線于點，連接．

（1）求證：；

（2）當，時，請判斷四邊形的形狀，并證明你的結論．

（3）當四邊形是正方形時，請判斷的形狀，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）平行四邊形ABDF是矩形，見解理由析；（3）△FBC為等腰直角三角形，證明見解析

【解析】

（1）利用平行四邊形的性質，證明AB＝CD，然后通過證明△AGB≌△DGF 得出AB=DF即可解決問題；
（2）結論：四邊形ABDF是矩形．先證明四邊形ABDF是平行四邊形，再根據對角線相等的平行四邊形是矩形判斷即可；

（3）結論：△FBC為等腰直角三角形．由正方形的性質得出∠BFD=45°,∠FGD=90°，根據平行四邊形的性質推出BF=BC即可解決問題．

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，AB=CD，

∴∠FDG=∠BAG，

∵點G 是AD的中點，

∴AG=DG，

又∵∠FGD=∠BGA，

∴△AGB≌△DGF（ASA），

∴AB=DF，

∴DF=DC．

（2）結論：四邊形ABDF是矩形，

理由：∵△AGB≌△DGF，

∴GF=GB，

又∵DG=AG，

∴四邊形ABDF是平行四邊形，

∵DG=DC，DC=DF，

∴DF=DG，

在平行四邊形ABCD中，

∵∠ABC=120°，

∴∠ADC=120°，

∴∠FDG=60°，

∴△FDG為等邊三角形，

∴FG=DG，

∴AD=BF，

∴四邊形ABDF是矩形．

（3）當四邊形ABDF是正方形時，△FBC為等腰直角三角形．

證明：∵四邊形ABDF是正方形，

∴∠BFD=45°,∠FGD=90°，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，

∴∠FBC =∠FGD = 90°，

∴∠FCB = 45°=∠BFD，

∴BF=BC，

∴△FBC為等腰直角三角形．