Question

【題目】邊長為2的正方形ABCD中，P是對角線AC上的一個動點（點P與A、C不重合），連接BP，將BP繞點B順時針旋轉90°到BQ，連接QP，QP與BC交于點E，QP延長線與AD（或AD延長線）交于點F．

（1）連接CQ，證明：CQ=AP；

（2）設AP=x，CE=y，試寫出y關于x的函數關系式，并求當x為何值時，CE=BC；

（3）猜想PF與EQ的數量關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）當x=3或1時，CE=BC； （3）. 結論：PF=EQ，理由見解析.

【解析】

試題分析：（1）證出∠ABP=∠CBQ，由SAS證明△BAP≌△BCQ可得結論；（2）如圖1證明△APB∽△CEP，列比例式可得y與x的關系式，根據CE=BC計算CE的長，即y的長，代入關系式解方程可得x的值；（3）如圖3，作輔助線，構建全等三角形，證明△PGB≌△QEB，得EQ=PG，由F、A、G、P四點共圓，

得∠FGP=∠FAP=45°，所以△FPG是等腰直角三角形，可得結論．如圖4，當F在AD的延長線上時，同理可得結論．

試題解析：

（1）證明：如圖1，∵線段BP繞點B順時針旋轉90°得到線段BQ，

∴BP=BQ，∠PBQ=90°．∵四邊形ABCD是正方形，

∴BA=BC，∠ABC=90°． ∴∠ABC=∠PBQ．

∴∠ABC﹣∠PBC=∠PBQ﹣∠PBC，即∠ABP=∠CBQ．

在△BAP和△BCQ中，

∵，

∴△BAP≌△BCQ（SAS）．

∴CQ=AP；

（2）解：如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BAC=∠BAD=45°，∠BCA=∠BCD=45°，

∴∠APB+∠ABP=180°﹣45°=135°，

∵DC=AD=2，

由勾股定理得：AC=，

∵AP=x，∴PC=4﹣x，

∵△PBQ是等腰直角三角形，∴∠BPQ=45°，

∴∠APB+∠CPQ=180°﹣45°=135°，∴∠CPQ=∠ABP，

∵∠BAC=∠ACB=45°，∴△APB∽△CEP，∴ ，

∴，∴y=x（4﹣x）=﹣（0＜x＜4），

由CE=BC=，∴y=﹣，

x2﹣4x=3=0，（x﹣3）（x﹣1）=0，x=3或1，

∴當x=3或1時，CE=BC；

（3）解：結論：PF=EQ，理由是：

如圖3，當F在邊AD上時，過P作PG⊥FQ，交AB于G，則∠GPF=90°，

∵∠BPQ=45°，∴∠GPB=45°，∴∠GPB=∠PQB=45°，

∵PB=BQ，∠ABP=∠CBQ，∴△PGB≌△QEB，∴EQ=PG，

∵∠BAD=90°，∴F、A、G、P四點共圓，

連接FG，∴∠FGP=∠FAP=45°，

∴△FPG是等腰直角三角形，∴PF=PG，∴PF=EQ．

當F在AD的延長線上時，如圖4，同理可得：PF=PG=EQ．