Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，D、F是AB邊上的兩點，以DF為直徑的⊙O與BC相交于點E，連接EF，過F作FG⊥BC于點G，其中∠OFE=∠A．

（1）求證：BC是⊙O的切線；

（2）若sinB=，⊙O的半徑為r，求△EHG的面積（用含r的代數式表示）．

Answer 1

【答案】（1）證明過程見解析；（2）

【解析】

試題分析：（1）首先連接OE，由在△ABC中，∠C=90°，FG⊥BC，可得FG∥AC，又由∠OFE=∠A，易得EF平分∠BFG，繼而證得OE∥FG，證得OE⊥BC，則可得BC是⊙O的切線；（2）由在△OBE中，sinB=，⊙O的半徑為r，可求得OB，BE的長，然后由在△BFG中，求得BG，FG的長，則可求得EG的長，易證得△EGH∽△FGE，然后由相似三角形面積比等于相似比的平方，求得答案．

試題解析：（1）連接OE， ∵在△ABC中，∠C=90°，FG⊥BC， ∴∠BGF=∠C=90°， ∴FG∥AC，

∴∠OFG=∠A， ∴∠OFE=∠OFG， ∴∠OFE=∠EFG， ∵OE=OF， ∴∠OFE=∠OEF， ∴∠OEF=∠EFG，

∴OE∥FG， ∴OE⊥BC， ∴BC是⊙O的切線；

（2）∵在Rt△OBE中，sinB=，⊙O的半徑為r， ∴OB=r，BE=r， ∴BF=OB+OF=r，

∴FG=BFsinB=r， ∴BG==r， ∴EG=BG﹣BE=r，

∴S△FGE=EGFG=r2，EG：FG=1：2， ∵BC是切線， ∴∠GEH=∠EFG， ∵∠EGH=∠FGE，

∴△EGH∽△FGE， ∴=（）=， ∴S△EHG=S△FGE=r2．