Question

【題目】如圖，已知直線PA交⊙O于A、B兩點，AE是⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，且AC平分∠PAE，過C作CD⊥PA，垂足為D．

（1）求證：CD為⊙O的切線；
（2）若DC+DA=6，⊙O的直徑為10，求AB的長度．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OC，

∵OA=OC，

∴∠OCA=∠OAC，

∵AC平分∠PAE，

∴∠DAC=∠CAO，

∴∠DAC=∠OCA，

∴PB∥OC，

∵CD⊥PA，

∴CD⊥OC，CO為⊙O半徑，

∴CD為⊙O的切線

（2）解：過O作OF⊥AB，垂足為F，

∴∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°，

∴四邊形DCOF為矩形，

∴OC=FD，OF=CD．

∵DC+DA=6，

設AD=x，則OF=CD=6﹣x，

∵⊙O的直徑為10，

∴DF=OC=5，

∴AF=5﹣x，

在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2+OF2=OA2．

即（5﹣x）2+（6﹣x）2=25，

化簡得x2﹣11x+18=0，

解得x1=2，x2=9．

∵CD=6﹣x大于0，故x=9舍去，

∴x=2，

從而AD=2，AF=5﹣2=3，

∵OF⊥AB，由垂徑定理知，F為AB的中點，

∴AB=2AF=6．

【解析】（1）根據切線的判定方法只要得到CD⊥OC即可；根據等角對等邊，得到∠OCA=∠OAC，根據角平分線定義AC平分∠PAE，得到∠DAC=∠CAO，∠DAC=∠OCA，得到PB∥OC，由CD⊥PA，得到CD⊥OC，即CD為⊙O的切線；（2）由輔助線得到四邊形DCOF為矩形，根據矩形的性質得到OC=FD，OF=CD，因為⊙O的直徑為10，求出DF=OC，AF，在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2+OF2=OA2，，從而求出AD，AF的值，由OF⊥AB，由垂徑定理知，F為AB的中點，求出AB=2AF即可．