Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知P（x1，y1）Q（x2，y2），定義P、Q兩點的橫坐標之差的絕對值與縱坐標之差的絕對值的和為P、Q兩點的直角距離，記作d（P，Q）．即d（P，Q）＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|

如圖1，在平面直角坐標系xOy中，A（1，4），B（5，2），則d（A，B）＝|5﹣1|+|2﹣4|＝6．

（1）如圖2，已知以下三個圖形：

①以原點為圓心，2為半徑的圓；

②以原點為中心，4為邊長，且各邊分別與坐標軸垂直的正方形；

③以原點為中心，對角線分別在兩條坐標軸上，對角線長為4的正方形．

點P是上面某個圖形上的一個動點，且滿足d（O，P）＝2總成立．寫出符合題意的圖形對應的序號　 　．

（2）若直線y＝k（x+3）上存在點P使得d（O，P）＝2，求k的取值范圍．

（3）在平面直角坐標系xOy中，P為動點，且d（O，P）＝3，⊙M圓心為M（t，0），半徑為1．若⊙M上存在點N使得PN＝1，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) ③;(2)﹣≤k≤；（3）﹣5≤t≤﹣3+2或3﹣2≤t≤5．

【解析】

（1）分三種情況設出點P的坐標，按照兩點的直角距離的定義可以直接求出結果，即可判斷各結論是否符合題意；

（2）分別求出直線y＝k（x+3）經過特殊點（0，2），（0，﹣2）時k的值，由運動過程寫出k的取值范圍；

（3）由（1）可判斷滿足d（O，P）＝3的點是在以原點為中心，對角線在坐標軸上，且對角線長為6的正方形ABCD上，再分別求出⊙M與正方形在y軸左右兩邊最遠距離為2時t的值，即可寫出結果．

解：（1）①如圖1，點P在以原點為圓心，2為半徑的圓上，

設P點橫坐標為1，則縱坐標為，

∴P（1，），

根據定義兩點的直角距離，d（P，O）＝|2﹣0|+|﹣0|＝2+≠2，

故①不符合題意；

②如圖2，點P在以原點為中心，4為邊長，且各邊分別與坐標軸垂直的正方形上時，

設P（2，a）（a≠0），

則d（P，O）＝|2﹣0|+|a﹣0|＝2+a≠2，

故②不符合題意；

③如圖3，點P在以原點為中心，對角線分別在兩條坐標軸上，對角線長為4的正方形上時，

將點A（0，2），D（2，0）代入y＝kx+b，

得，，

解得，k＝﹣1，b＝2，

∴yAD＝﹣x+2，

設點P在AD上，坐標為（a，﹣a+2）（0≤a≤2），

則d（P，O）＝|a﹣0|+|﹣a+2﹣0|＝2，

故③符合題意；

故答案為③；

（2）當直線經過（0，2）時，將（0，2）代入直線y＝k（x+3），

得，3k＝2，

∴k＝；

當直線經過（0，﹣2）時，將（0，﹣2）代入直線y＝k（x+3），

得，3k＝﹣2，

∴k＝﹣；

運動觀察可知，k的取值范圍為﹣≤k≤；

（3）由題意，滿足d（O，P）＝3的點是在以原點為中心，對角線在坐標軸上，且對角線長為6的正方形ABCD上（如圖4），

當M在正方形ABCD外時，若MA＝2，則t＝﹣5，若MC＝2，則t＝5，

當M在正方形ABCD內部時，

若M到正方形AD，AB邊的距離恰好為2，

則t＝﹣3+2，

若M到正方形DC，BC邊的距離恰好為2，

則t＝3﹣2，

運動觀察可知，t的取值范圍為﹣5≤t≤﹣3+2或3﹣2≤t≤5．