Question

如圖，現有兩塊全等的直角三角形紙板Ⅰ，Ⅱ，它們兩直角邊的長分別為1和2．將它們分別放置于平面直角坐標系中的，處，直角邊在軸上．一直尺從上方緊靠兩紙板放置，讓紙板Ⅰ沿直尺邊緣平行移動．當紙板Ⅰ移動至處時，設與分別交于點，與軸分別交于點．
（1）求直線所對應的函數關系式；
（2）當點是線段（端點除外）上的動點時，試探究：
①點到軸的距離與線段的長是否總相等？請說明理由；
②兩塊紙板重疊部分（圖中的陰影部分）的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及取最大值時點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）由直角三角形紙板的兩直角邊的長為1和2，
知兩點的坐標分別為．
設直線所對應的函數關系式為．
有解得
所以，直線所對應的函數關系式為．
（2）①點到軸距離與線段的長總相等．
因為點的坐標為，
所以，直線所對應的函數關系式為．
又因為點在直線上，
所以可設點的坐標為．
過點作軸的垂線，設垂足為點，則有．

因為點在直線上，所以有．
因為紙板為平行移動，故有，即．
又，所以．
法一：故，
從而有．
得，．
所以．
又有．
所以，得，而，
從而總有．
法二：故，可得．
故．
所以．
故點坐標為．
設直線所對應的函數關系式為，
則有解得
所以，直線所對的函數關系式為．
將點的坐標代入，可得．解得．
而，從而總有．
②由①知，點的坐標為，點的坐標為．

．
當時，有最大值，最大值為．
取最大值時點的坐標為．

（1）根據圖形得到知兩點的坐標，然后利用待定系數法求出直線函數關系式；（2）根據圖形得到點的坐標從而求出直線所對應的函數關系式為．根據點在直線設出P點的坐標.利用平移得到以及又，所以，然后得到三角形相似，從而得出線段成比例，從而證明h=BH.(3)將陰影部分的面積轉化為.設出點的坐標為，點的坐標為，表示出，從而得到相應的二次函數.利用二次函數的性質求得陰影部分面積的最大值.