Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與矩形AOBC的邊AC、BC分別交于點E，F，E（3，4），且F（8，）為拋物線的頂點，將△CEF沿著EF翻折，點C恰好落在邊OB上的點D處．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）點P為線段ED上一動點，連接PF，當PF平分∠EFD時，求PD的長度；

（3）四邊形AODE以1個單位/秒的速度沿著x軸向右運動，當點E與點C重合時停止運動，設運動時間為t秒，運動后的四邊形A′O′D′E′與△DEF重合部分的面積為S，請直接寫出S與t的函數關系式．

Answer 1

【答案】（1）y=（x-8）2+；（2）PD=；（3）S=

【解析】

（1）設拋物線解析式為，把E（3，4）代入求出a=即可；

（2）由折疊的性質得：DF=CF，∠EDF=∠C=90°，DE=CE=5，作EG⊥OB于G，則EG=OA=4，OG=AE=3，由勾股定理得出，得出BD=2，設DF=CF=x，則BF=4-x，在Rt△BDF中，由勾股定理得出方程，解方程得出DF=CF=，由勾股定理求出，作PH⊥EF于H，由角平分線性質得出PH=PD，證出△PEH∽△FED，得出，即可得出結果；

（3）分三種情況：當0≤t≤3時，此時重合部分為一個梯形；當時，此時D′E′與DF的交點仍然在線段DF上，重合部分為一個梯形面積減去一個三角形的面積；當時，重合部分為△DEF的面積減去一個三角形的面積．

解：（1）∵F（8，）為拋物線的頂點，

∴設拋物線解析式為y=a（x-8）2+，把E（3，4）代入得：a（3-8）2+=4，解得：a=，

∴該拋物線的解析式為：y=（x-8）2+；

（2）∵四邊形AOBC是矩形，

∴OB=AC=8，OA=BC=4，∠OBC=∠C=90°，

∵AE=3，∴CE=5，

由折疊的性質得：DF=CF，∠EDF=∠C=90°，DE=CE=5，

作EG⊥OB于G，則EG=OA=4，OG=AE=3，

∴DG==3，

∴BD=OB-OG-DG=2，

設DF=CF=x，則BF=4-x，在Rt△BDF中，由勾股定理得：

22+（4-x）2=x2，解得：x=，

∴DF=CF=，∴EF===，

作PH⊥EF于H，

又∵PF平分∠EFD，∠PDF=90°，

∴PH=PD，

∵∠PHE=∠EDF=90°，∠PEH=∠FED，

∴△PEH∽△FED，

∴=，即=，解得：PH=，∴PD=；

（3）分三種情況：如圖所示：

①當0≤t≤3時，DD'=EE'=t，由（2）知，∠EDF=90°，由平移可知，D'E’⊥DF，

∴cos∠FDB===

∴DM=，

設D'E'交EF于點M和點N，過點N作NQ⊥DE于點Q，則NQ=DM=，

∵，

∴，

∴EQ=，MN=DQ=5-，

∴S=（5-+5）÷2=+4t；

②當3＜t＜時，D'E’與EF的交點在點F左側，可知需要用梯形面積減去左邊一個小三角形的面積，類比①可得：

S=+4t-（）=

③當時，S=-（）=-+10

故S與t的函數關系式為：

S=