Question

【題目】已知：⊙O1與⊙O2相交于A、B兩點，且O2在⊙O1上．

（1）如圖1，AD是⊙O2的直徑，連DB并延長交⊙O1于點C，求證：CO2⊥AD．

（2）如圖2，若AD是⊙O2的非直徑的弦，直線DB交⊙O1于點C，則(1)中的結論是否成立，為什么？請加以證明．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析．

【解析】

(1) 連接AB．根據直徑所對的圓周角是直角，得∠ABD=90°；根據等弧所對的圓周角相等，得∠A=∠C，再進一步根據兩角對應相等，得△ABD∽△CO2D，從而證明結論；
(2) 連接AO2并延長交圓于E，連接DE、AB．根據直徑所對的圓周角是直角，得∠ADE=90°；根據等弧所對的圓周角相等，得∠C=∠1=∠2，從而證明∠ADC+∠C=90°，證明結論．

(1) 連結AB，如圖1

∵AD是⊙O2的直徑，

∴∠ABD＝90°（直徑所對的圓周角是直角），

∴∠BAD＋∠BDA＝180°-90°=90°（三角形內角和定理），

又∵∠C＝∠A（同弧所對圓周角相等），

∴△ABD∽△CO2D，
∴∠ABD=∠CO2D=90°，
即CO2⊥AD．

(2)(1)中的結論仍成立．證明如下：

連接AO2并延長交圓于E，延長CO2交AD于H，連接DE、AB，如圖2

∵AE是圓的直徑，
∴∠ADE=90°（直徑所對的圓周角是直角），

∴∠ADC+∠2=90°，
又∵∠C=∠1=∠2（同弧所對圓周角相等），
∴∠ADC+∠C=90°（等量替換），

∴∠AHD=180°-90°=90°（三角形內角和定理），
則CO2⊥AD．