Question

【題目】如圖，長方形ABCD中，AD＝BC＝6，AB＝CD＝4．點P從點A出發，以每秒1個單位的速度沿A→B→C→D→A的方向運動，回到點A停止運動．設運動時間為t秒．

（1）當t= 時，點P到達點C；當t= 時，點P回到點A;

（2）△ABP面積取最大值時t的取值范圍；（3）當△ABP的面積為3時，求t的值；

（4）若點P出發時，點Q從點A出發，以每秒2個單位的速度沿A→D→C→B→A的方向運動，回到點A停止運動．請問：P 、Q何時在長方形ABCD的邊上相距1個單位長度？

Answer 1

【答案】（1）當t=10，點p到點C，當t=20，點p到點A；（2）10≤t≤14；（3）t=5.5或t=18.5； (4)t=或 t=7.

【解析】

（1）根據長方形ABCD的邊長和點P的運動速度進行計算即可；

（2）由圖可知，當點P在邊CD上運動時，△ABP的面積最大，由此根據已知條件計算出點P在邊CD上運動所對應的時間范圍即可；

（3）如圖1和圖2，分點P在BC上和AD上兩種情況結合已知條件解答即可；

（4）由題意可知，點P、Q在長方形ABCD上從A點出發，作相向運動，因此存在以下兩種情況： ①點P、Q相遇前相距1個單位長度，如下圖3所示；②點P、Q相遇后相距1個單位長度，如下圖4所示；結合已知條件分這兩種情況解答即可.

（1）∵AD＝BC＝6，AB＝CD＝4，

∴AB+BC=10，AB+BC+CD+DA=20，

又∵點P的移動速度為每秒1個單位長度，

∴點P由A到C所需時間為：10÷1=10（秒），

點P由A出發回到A所需時間為：20÷1=20（秒）；

（2）由圖可知，當點P在邊CD上運動時，△ABP的面積最大，

∵AB+BC+CD=14，

∴點P移動到點D的時間為：14÷1=14（秒），

又∵點P移動到點C的時間為10秒，

∴當△ABP的面積最大時，；

（3）①如圖1，當點P在邊BC上時，由已知可得：AB=4，PB=（t-4），由題意可得：

S△ABP=，解得：；

②如圖2，當點P在邊AD上時，由已知可得：AB=4，AP=（20-t），由題意可得：S△ABP=，解得：，

綜上所述，當t=5.5或t=18.5時，△ABP的面積為3.

（4）①如圖3，當點P、Q相遇前相距1個單位長度時，

由題意可得：，解得：；

②如圖4，當點P、Q在相遇后相距1個單位長度時，由題意可得：

，解得：，

綜上所述，當或時，點P、Q在長方形ABCD的邊上相距1個單位長度.