Question

【題目】已知k為任意實(shí)數(shù)，隨著k的變化，拋物線y=x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣5的頂點(diǎn)隨之運(yùn)動(dòng)，則頂點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)經(jīng)過(guò)的路徑與兩條坐標(biāo)軸圍成圖形的面積是_____．

Answer 1

【答案】4．

【解析】

先利用配方法得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（k﹣1，2k﹣6），利用頂點(diǎn)橫縱坐標(biāo)的關(guān)系可判斷拋物線的頂點(diǎn)在直線y=2x﹣4上，再求出直線y=2x﹣4與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后計(jì)算直線y=2x﹣4與兩條坐標(biāo)軸圍成圖形的面積即可．

∵y=x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣5=x2﹣2（k﹣1）x+（k﹣1）2+2k﹣6，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（k﹣1，2k﹣6）．

∵2k﹣6=2（k﹣1）﹣4，∴拋物線的頂點(diǎn)在直線y=2x﹣4上，當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣4，直線y=2x﹣4與y軸的交點(diǎn)為（0，﹣4）；

當(dāng)y=0時(shí)，2x﹣4=0，解得：x=2，直線y=2x﹣4與x軸的交點(diǎn)為（2，0）；

∴頂點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)經(jīng)過(guò)的路徑與兩條坐標(biāo)軸圍成圖形的面積=×2×4=4．

故答案為：4．