Question

【題目】菱形ABCD中，∠B＝60°，點E在邊BC上，點F在邊CD上．

(1)如圖①，若點E是BC的中點，∠AEF＝60°，求證：BE＝DF；

(2)如圖②，若∠EAF＝60°，求證：△AEF是等邊三角形．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】試題分析：（1）首先連接AC，由菱形ABCD中，∠B=60°，根據菱形的性質，易得△ABC是等邊三角形，又由三線合一，可證得AE⊥BC，繼而求得∠FEC=∠CFE，即可得EC=CF，繼而證得BE=DF；

（2）首先由△ABC是等邊三角形，即可得AB=AC，以求得∠ACF=∠B=60°，然后利用平行線與三角形外角的性質，可求得∠AEB=∠AFC，證得△AEB≌△AFC，即可得AE=AF，證得：△AEF是等邊三角形．

試題解析：（1）連接AC，

∵在菱形ABCD中，∠B=60°，

∴AB=BC=CD，∠C=180°-∠B=120°，

∴△ABC是等邊三角形，

∵E是BC的中點，

∴AE⊥BC，

∵∠AEF=60°，

∴∠FEC=90°-∠AEF=30°，

∴∠CFE=180°-∠FEC-∠ECF=180°-30°-120°=30°，

∴∠FEC=∠CFE，

∴EC=CF，

∴BE=DF；

（2）∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC，∠ACB=60°，

∴∠B=∠ACF=60°，

∵AD∥BC，

∴∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD，

∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD，

∴∠AEB=∠AFC，

在△ABE和△ACF中，

∴△ABE≌△ACF（AAS），

∴AE=AF，

∵∠EAF=60°，

∴△AEF是等邊三角形．