Question

【題目】在△ABC中，點D為邊BC上一點，請回答下列問題：

（1）如圖1，若∠DAC=∠B，△ABC的角平分線CE交AD于點F，試說明∠AEF=∠AFE；

（2）在（1）的條件下，如圖2，△ABC的外角∠ACQ的角平分線CP交BA的延長線于點P，若∠P=26°，猜想∠CFD的度數，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）∠CFD=64°，理由見解析.

【解析】

（1）利用角平分線的定義可得出∠ECB=∠ACE，結合∠B=∠FAC可得出∠B+∠ECB=∠FAC+∠ACE，由三角形外角的性質可得出∠AEF=∠B+∠ECB，∠AFE=∠FAC+∠ACE，進而可得出∠AEF=∠AFE；

（2）由∠ACE=∠ACB，∠ACP=∠ACQ，可得出∠ECP=90°，進而可得出∠P+∠AEC=90°，結合（1）的結論及對頂角相等可得出∠P+∠CFD=90°，代入∠P=26°即可求出∠CFD的度數．

解：（1）∵CE平分∠ACB，

∴∠ECB=∠ACE，

∵∠B=∠FAC，

∴∠B+∠ECB=∠FAC+∠ACE．

又∵∠AEF=∠B+∠ECB，∠AFE=∠FAC+∠ACE，

∴∠AEF=∠AFE．

（2）∠CFD=64°，理由如下：

∵∠ACE=∠ACB，∠ACP=∠ACQ，

∴∠ECP=∠ACE+∠ACP=（∠ACB+∠ACQ）=90°，

∴∠P+∠AEC=90°．

∵∠AEF=∠AFE=∠CFD，

∴∠P+∠CFD=90°．

∵∠P=26°，

∴∠CFD=64°．