Question

【題目】請閱讀下列材料：

問題：如圖，在正方形和平行四邊形中，點，，在同一條直線上，是線段的中點，連接，．

探究：當與的夾角為多少度時，平行四邊形是正方形？

小聰同學的思路是：首先可以說明四邊形是矩形；然后延長交于點，構造全等三角形，經過推理可以探索出問題的答案．

請你參考小聰同學的思路，探究并解決這個問題．

（1）求證：四邊形是矩形；

（2）與的夾角為________度時，四邊形是正方形．

理由：

Answer 1

【答案】(1)詳見解析；（2）90.

【解析】

（1）由正方形ABCD，易得∠EBG＝90°，根據有一個角是直角的平行四邊形是矩形，即可證得四邊形BEFG是矩形；

（2）首先作輔助線：延長GP交DC于點H，根據正方形與平行四邊形的性質，利用AAS易得△DHP≌△FGP，則有HP＝GP，當∠CPG＝90°時，利用SAS易證△CPH≌△CPG，根據全等三角形與正方形的性質，即可得BG＝GF，根據有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，可得BEFG是菱形，而∠EBG＝90°，即得四邊形BEFG是正方形．

（1）∵正方形ABCD中，∠ABC＝90°，

∴∠EBG＝90°，

∴BEFG是矩形；

（2）90°；

理由：延長GP交DC于點H，

∵正方形ABCD和平行四邊形BEFG中，AB∥DC，BE∥GF，

∴DC∥GF，

∴∠HDP＝∠GFP，∠DHP＝∠FGP，

∵P是線段DF的中點，

∴DP＝FP，

∴△DHP≌△FGP，

∴HP＝GP，

當∠CPG＝90°時，∠CPH＝∠CPG，

∵CP＝CP，

∴△CPH≌△CPG，

∴CH＝CG，

∵正方形ABCD中，DC＝BC，

∴DH＝BG，

∵△DHP≌△FGP，

∴DH＝GF，

∴BG＝GF，

∴BEFG是菱形，

由（1）知四邊形BEFG是矩形，

∴四邊形BEFG是正方形．