Question

【題目】如圖，直線y=﹣3x+3與x軸、y軸分別交于A，B兩點，拋物線y=﹣x2+bx+c與直線y=c分別交y軸的正半軸于點C和第一象限的點P，連接PB，得△PCB≌△BOA（O為坐標原點）．若拋物線與x軸正半軸交點為點F，設M是點C，F間拋物線上的一點（包括端點），其橫坐標為m．

（1）直接寫出點P的坐標和拋物線的解析式；

（2）當m為何值時，△MAB面積S取得最小值和最大值？請說明理由；

（3）求滿足∠MPO=∠POA的點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）點P的坐標為（3，4），拋物線的解析式為y=﹣x2+3x+4；（2）當m=0時，S取最小值，最小值為；當m=3時，S取最大值，最大值為5．（3）滿足∠MPO=∠POA的點M的坐標為（0，4）或（，）．

【解析】（1）代入y=c可求出點C、P的坐標，利用一次函數圖象上點的坐標特征可求出點A、B的坐標，再由△PCB≌△BOA即可得出b、c的值，進而可得出點P的坐標及拋物線的解析式；

（2）利用二次函數圖象上點的坐標特征求出點F的坐標，過點M作ME∥y軸，交直線AB于點E，由點M的橫坐標可得出點M、E的坐標，進而可得出ME的長度，再利用三角形的面積公式可找出S=﹣（m﹣3）2+5，由m的取值范圍結合二次函數的性質即可求出S的最大值及最小值；

（3）分兩種情況考慮：①當點M在線段OP上方時，由CP∥x軸利用平行線的性質可得出：當點C、M重合時，∠MPO=∠POA，由此可找出點M的坐標；②當點M在線段OP下方時，在x正半軸取點D，連接DP，使得DO=DP，此時∠DPO=∠POA，設點D的坐標為（n，0），則DO=n，DP=，由DO=DP可求出n的值，進而可得出點D的坐標，由點P、D的坐標利用待定系數法即可求出直線PD的解析式，再聯立直線PD及拋物線的解析式成方程組，通過解方程組求出點M的坐標．綜上此題得解．

（1）當y=c時，有c=﹣x2+bx+c，

解得：x1=0，x2=b，

∴點C的坐標為（0，c），點P的坐標為（b，c），

∵直線y=﹣3x+3與x軸、y軸分別交于A、B兩點，

∴點A的坐標為（1，0），點B的坐標為（0，3），

∴OB=3，OA=1，BC=c﹣3，CP=b，

∵△PCB≌△BOA，

∴BC=OA，CP=OB，

∴b=3，c=4，

∴點P的坐標為（3，4），拋物線的解析式為y=﹣x2+3x+4；

（2）當y=0時，有﹣x2+3x+4=0，

解得：x1=﹣1，x2=4，

∴點F的坐標為（4，0），

過點M作ME∥y軸，交直線AB于點E，如圖1所示，

∵點M的橫坐標為m（0≤m≤4），

∴點M的坐標為（m，﹣m2+3m+4），點E的坐標為（m，﹣3m+3），

∴ME=﹣m2+3m+4﹣（﹣3m+3）=﹣m2+6m+1，

∴S=OAME=﹣m2+3m+=﹣（m﹣3）2+5，

∵﹣＜0，0≤m≤4，

∴當m=0時，S取最小值，最小值為；當m=3時，S取最大值，最大值為5；

（3）①當點M在線段OP上方時，∵CP∥x軸，

∴當點C、M重合時，∠MPO=∠POA，

∴點M的坐標為（0，4）；

②當點M在線段OP下方時，在x正半軸取點D，連接DP，使得DO=DP，此時∠DPO=∠POA，

設點D的坐標為（n，0），則DO=n，DP=，

∴n2=（n﹣3）2+16，

解得：n=，

∴點D的坐標為（，0），

設直線PD的解析式為y=kx+a（k≠0），

將P（3，4）、D（，0）代入y=kx+a，

，解得：，

∴直線PD的解析式為y=﹣x+，

聯立直線PD及拋物線的解析式成方程組，得：，

解得：，．

∴點M的坐標為（，）．

綜上所述：滿足∠MPO=∠POA的點M的坐標為（0，4）或（，）．