Question

如圖①，在平面直角坐標系中，AB、CD都垂直于x軸，垂足分別為B、D且AD與B相交于E點．已知：A（-2，-6），C（1，-3）
（1）求證：E點在y軸上；
（2）如果有一拋物線經過A，E，C三點，求此拋物線方程．
（3）如果AB位置不變，再將DC水平向右移動k（k＞0）個單位，此時AD與BC相交于E′點，如圖②，求△AE′C的面積S關于k的函數解析式．

Answer 1

分析：（1）可先求出直線AD的解析式和直線BC的解析式，聯立兩式可求出E點的坐標，即可判斷出E是否在y軸上．
（2）根據已知的三點的坐標，用待定系數法即可求出拋物線的解析式．
（3）由于AB∥CD，那么三角形BAD和三角形BCA中BC邊上的高都相等，那么這兩個三角形的面積就相等，同時減去一個三角形ABE′的面積后可得出三角形BDE′的面積等于三角形AE′C的面積，因此只需求出三角形BE′D的面積即可．在三角形BDE′中，BD的值為3+k，BD邊上的高為E′的縱坐標即E點的縱坐標，由此可得出S，k的函數關系式．

解答：（1）證明：由D（1，0），A（-2，-6），
得DA直線方程：y=2x-2①
再由B（-2，0），C（1，-3），
得BC直線方程：y=-x-2②
結合①②得

x=0 y=-2

，
∴E點坐標（0，-2），
即E點在y軸上．

（2）解：設拋物線的方程y=ax²+bx+c（a≠0）過A（-2，-6），C（1，-3），
E（0，-2）三點，得方程組

4a-2b+c=-6 a+b+c=-3 c=-2

解得a=-1，b=0，c=-2，
∴拋物線解析式為y=-x²-2．

（3）解：∵BA∥DC，
∴S_△BCA=S_△BDA
∴S_△AE′C=S_△BDE′=

1

2

BD•E′F=

1

2

（3+k）×2=3+k．
∴S=3+k為所求函數解析式．

點評：本題主要考查了二次函數解析式的確定、函數圖象交點以及圖象面積的求法等知識及綜合應用知識、解決問題的能力．