Question

【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC>AC,以斜邊AB 所在直線為x軸,以斜邊AB上的高所在直線為y軸,建立直角坐標系,若OA2+OB2= 17, 且線段OA、OB的長度是關于x的一元二次方程x2-mx+2(m-3)=0的兩個根.

(1)求C點的坐標;

(2)以斜邊AB為直徑作圓與y軸交于另一點E,求過A、B、E 三點的拋物線的關系式,并畫出此拋物線的草圖.

(3)在拋物線上是否存在點P,使△ABP與△ABC全等?若存在,求出符合條件的P點的坐標;若不存在,說明理由.

Answer 1

【答案】（1）C(0,2)；（2）y=.（3）(0,-2)和(3,-2)

【解析】本題是二次函數與圓以及全等三角形相結合的題目，難度較大

（1）線段OA、OB的長度是關于x的一元二次方程x2-mx+2（m-3）=0的兩個根．根據韋達定理就可以得到關于OA，OB的兩個式子，再已知OA2+OB2=17，就可以得到一個關于m的方程，從而求出m的值．求出OA，OB．根據OC2=OAOB就可以求出C點的坐標；

（2）由第一問很容易求出A，B的坐標．連接AB的中點，設是M，與E，在直角△OME中，根據勾股定理就可以求出OE的長，得到E點的坐標，利用待定系數法就可以求出拋物線的解析式；

（3）E點就是滿足條件的點．同時C，E關于拋物線的對稱軸的對稱點也是滿足條件的點．

解：(1)線段OA,OB的長度是關于x的一元二次方程x2-mx+2(m-3)="0" 的兩個根,

∴

又∵OA2+OB2=17,∴(OA+OB)2-2·OA·OB=17.③

把①,②代入③,得m2-4(m-3) =17,∴m2-4m-5=0.解之,得m=-1或m=5.

又知OA+OB=m>0,∴m=-1應舍去.

∴當m=5時,得方程:x2-5x+4=0,解之,得x=1或x=4.

∵BC>AC,∴OB>OA,∴OA=1,OB=4,

在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CO⊥AB,

∴OC2=OA·OB=1×4=4.∴OC=2,∴C(0,2)

(2)∵OA=1,OB=4,C,E兩點關于x軸對稱,

∴A(-1,0),B(4,0),E(0,-2).

設經過A,B,E三點的拋物線的關系式為

y=ax2+bx+c,則,解之,得

∴所求拋物線關系式為y=.

(3)存在.∵點E是拋物線與圓的交點.

∴Rt△ACB≌Rt△AEB,∴E(0,-2)符合條件.

∵圓心的坐標(,0 )在拋物線的對稱軸上.

∴這個圓和這條拋物線均關于拋物線的對稱軸對稱.

∴點E關于拋物線對稱軸的對稱點E′也符合題意.

∴可求得E′(3,-2).

∴拋物線上存在點P符合題意,它們的坐標是(0,-2)和(3,-2)