Question

【題目】如圖，已知Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，AC＝3，點M、N分別在線段AC、AB上，將△ANM沿直線M折疊，使點A的對應點D恰好落在線段BC上，當△DCM為直角三角形時，折痕MN的長為_____．

Answer 1

【答案】1或

【解析】

由△DCM為直角三角形，分兩種情況進行討論：①∠CDM＝90°；②∠CMD＝90°．分別依據含30°角的直角三角形的性質以及等腰直角三角形的性質，即可得到折痕MN的長．

解：分兩種情況：

①如圖，當∠CDM＝90°時，△CDM是直角三角形，

∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，AC＝3，

，

由折疊可得，∠MDN＝∠A＝60°，

∴∠BDN＝30°，

，

，

∴AN＝2BN＝1，

∵∠DNB＝60°，

∴∠ANM＝∠DNM＝60°，

∴∠AMN＝60°，

∴MN＝AN＝1；

②如圖，當∠CMD＝90°時，△CDM是直角三角形，

由題可得，∠CDM＝60°，∠A＝∠MDN＝60°，

∴∠BDN＝60°，∠BND＝30°，

，

又，

，

過N作NH⊥AM于H，則∠ANH＝30°，

，

由折疊可得，∠AMN＝∠DMN＝45°，

∴△MNH是等腰直角三角形，

，

．

故答案為1或．