Question

【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中點B在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，線段OB、OC的長（OB＜OC）是方程x2﹣10x+16=0的兩個根，且拋物線的對稱軸是直線x=﹣2．

（1）求A、B、C三點的坐標；

（2）求此拋物線的表達式；

（3）連接AC、BC，若點E是線段AB上的一個動點（與點A、點B不重合），過點E作EF∥AC交BC于點F，連接CE，設AE的長為m，△CEF的面積為S，求S與m之間的函數關系式，并寫出自變量m的取值范圍；

（4）在（3）的基礎上試說明S是否存在最大值？若存在，請求出S的最大值，并求出此時點E的坐標，判斷此時△BCE的形狀；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A的坐標為（﹣6，0），點B的坐標為（2，0），點C的坐標為（0，8）；（2）y=﹣x2﹣x+8；（3）S=﹣m2+4m，自變量m的取值范圍是0＜m＜8 ；（4）點E的坐標為（﹣2，0），△BCE為等腰三角形．

【解析】試題分析：（1）解方程x2﹣10x+16=0得x1=2，x2=8 ；根據點B、C的位置則可得B、C的坐標，再根據拋物線的對稱性則可得點A的坐標；

（2）根據（1）中得到的點A、B、C的坐標，利用待定系數法即可求得拋物線的解析式；

（3）先表示出BE的長度并求出△ABC的面積，再判定△BEF和△ABC相似，然后根據相似三角形面積的比等于相似比的平方表示出△BEF的面積，再根據等高的三角形的面積的比等于底邊的比列式求解即可得到S與m的關系式；

（4）根據（3）中求得的S與m的關系式，利用二次函數的性質即可求得最大值，從而確定出m值，即可對△BCE的形狀作出判斷.

試題解析：（1）解方程x2﹣10x+16=0得x1=2，x2=8 ；

∵點B在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，且OB＜OC，

∴點B的坐標為（2，0），點C的坐標為（0，8）；

又∵拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是直線x=﹣2，

∴由拋物線的對稱性可得點A的坐標為（﹣6，0）；

（2）∵點C（0，8）在拋物線y=ax2+bx+c的圖象上，

∴c=8，將A（﹣6，0）、B（2，0）代入表達式，

得： ，解得 ，

∴所求拋物線的表達式為y=；

（3）依題意，AE=m，則BE=8﹣m，

∵OA=6，OC=8，

∴AC=10，

∵EF∥AC，

∴△BEF∽△BAC，

∴ ，即，

∴EF= ，

過點F作FG⊥AB，垂足為G，

則sin∠FEG=sin∠CAB=，

∴ ,

∴FG= ，

∴S=S△BCE﹣S△BFE=（8﹣m）×8﹣（8﹣m）（8﹣m）=﹣m2+4m，

自變量m的取值范圍是0＜m＜8 ；

（4）存在．

理由：∵S=﹣m2+4m=﹣（m﹣4）2+8且﹣＜0，

∴當m=4時，S有最大值，S最大值=8 ，

∵m=4，

∴點E的坐標為（﹣2，0），

∴△BCE為等腰三角形．