Question

【題目】對于某一函數給出如下定義：對于任意實數m， 當自變量x≥m時，函數y關于x的函數圖象為，將G沿直線x=m翻折后得到的函數圖象為，函數G的圖象由和兩部分共同組成，則函數G為原函數的“對折函數”，如函數y=x（x≥2）的對折函數為

（1）寫出函數y =2x+1（x≥ 1）的對折函數；

（2）若函數y =2x2（x≥）的對折函數與x軸交于點A，B(點A在點B的左側)，與y軸交于點C，求△ABC的周長；

（3）若點P(m，5)在函數y =4( x≥1)的對折函數的圖象上，求m的值；

（4）當函數y=4(x≥n)的對折函數與x軸有不同的交點個數時，直接寫出n的取值范圍

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）m=4或6；（4）①當n<1時，有4個交點；②當n=1時，有3個交點；③當1<n<3時，函數與x軸有2個交點；④當n=3時，有3個交點；⑤當n>3時，無交點

【解析】

(1)利用對折函數的定義求解對折后的函數與軸的交點坐標，利用待定系數法求解即可；

(2)先求解對折函數的解析式，得到C的坐標，利用勾股定理可得答案；

(3)先求解對折函數的解析式，把P的坐標代入即可得到答案；

(4)根據拐點的縱坐標分情況討論，即可得到對折函數的圖像，根據圖像可得答案．

(1)如圖1，設對折點為A，則點A(1，3)，設對折圖象與x軸的交點為A． B，

當y =2x+1=0時，x=時，即點B(，0)，則點C(，0)，

設直線AC為：

解得：

所以：直線AC的表達式為：y=2x+5，

故y=2x+1(x1)的對折函數為：

(2)由對折函數的定義得拐點坐標為： ，，

同理可得：函數y=2x2()的對折函數

點C(0，2)，

則AB=5，AC=，BC=，

則△ABC的周長為：

(3)令y=4=0，則x=1或3，如下圖：即點A． B的坐標為(1，0)、(3，0)，

則對折后函數的頂點坐標為(3，4)，該函數表達式為：y=4，

即對折函數為

將點P(m，5)代入y=4得：

解得：（舍去）

將點P(m，5)代入y=4，

解得：（舍去）

綜上：m=4或6

(4)①當n<1時，如圖3:

此時x=n在點A(1，0)的左側，

從圖中可以看出：函數與x軸有4個交點(A、B． C． D)；

②當n=1時，x=n過點A，從圖2可以看出：函數與x軸有3個交點；

③如圖：同理：當1<n<3時，函數與x軸有2個交點；

④如圖：同理：當n=3時，函數與x軸有3個交點；

⑤同理：當n>3時，無交點