Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，AB=3，點(diǎn)E在邊CD上，且CD=3DE，將△ADE沿AE對(duì)折至△AFE，延長EF交邊BC于點(diǎn)G，連接AG、CF．下列結(jié)論：①點(diǎn)G是BC中點(diǎn)；②FG=FC；③與∠AGB相等的角有5個(gè)；④S△FGC=．其中正確的是（　　）

A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④

Answer 1

【答案】C

【解析】解：∵正方形ABCD中，AB=3，CD=3DE，∴DE=×3=1，CE=3﹣1=2．∵△ADE沿AE對(duì)折至△AFE，∴AD=AF，EF=DE=1，∠AFE=∠D=90°，∴AB=AF=AD．在Rt△ABG和Rt△AFG中，，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），∴BG=FG，設(shè)BG=FG=x，則EG=EF+FG=1+x，CG=3﹣x．在Rt△CEG中，EG2=CG2+CE2，即（1+x）2=（3﹣x）2+22，解得，x=，∴CG=3﹣=，∴BG=CG=，即點(diǎn)G是BC中點(diǎn)，故①正確；

∵tan∠AGB==2，∴∠AGB≠60°，∴∠CGF≠180°﹣60°×2≠60°．又∵BG=CG=FG，∴△CGF不是等邊三角形，∴FG≠FC，故②錯(cuò)誤；

由（1）知Rt△ABG≌Rt△AFG，∴∠AGB=∠AGF=∠BGF，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，∠GCF+∠GFC=∠AGB+∠AGF，∴∠GCF=∠GFC=∠AGB．∵AD∥BC，∴∠AGB=∠GAD，∴與∠AGB相等的角有4個(gè)，故③錯(cuò)誤；

△CGE的面積=CGCE=××2=．∵EF：FG=1：=2：3，∴S△=×=，故④正確．

綜上所述：正確的結(jié)論有①④．

故選C．