Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為，E在正方形外，DE＝DC，過D作DH⊥AE于H，直線DH，EC交于點M，直線CE交直線AD于點P，則下列結論正確的是____________

①∠DAE＝∠DEA；②∠DMC＝45°；③；④若MH＝2，則S△CMD＝

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

①利用等腰三角形的性質即可證明．

②根據DA=DC=DE，利用圓周角定理可知∠AEC= ∠ADC=45°，即可解決問題．

③如圖，作DF⊥DM交PM于F，證明△ADM≌△CDF（SAS）即可解決問題．

④解直角三角形求出CE=EF=可得結論．

解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴DA=DC，∠ADC=90°，

∵DC=DE， ∴DA=DE， ∴∠DAE=∠DEA，故①正確，

∵DA=DC=DE，

在以為圓心，為半徑的圓上，

∴∠AEC=∠ADC=45°（圓周角定理），

∵DM⊥AE， ∴∠EHM=90°， ∴∠DMC=45°，故②正確，

如圖，作DF⊥DM交PM于F，

∵∠ADC=∠MDF=90°，

∴∠ADM=∠CDF，

∵∠DMF=45°，

∴∠DMF=∠DFM=45°，

∴DM=DF，

∵DA=DC，

∴△ADM≌△CDF（SAS），

∴AM=CF，

∴AM+CM=CF+CM=MF=DM，

∴ ，故③正確，

MH=2，

AH=MH=HE=2，AM=EM=

在Rt△ADH中，DH=

∴DM=3，AM+CM=

∴CM=CE=

∴S△DCM=S△DCE，

故④錯誤．

故答案①②③．