Question

【題目】去年我市某水果銷售公司購進了國外種植的一種水果，在四月份進行了一個月（30 天）的試銷，購進價格為 20 元/公斤，銷售結束后，發現日銷售量 P（公斤）與銷售時間 x（天）之間 關系如下列表格：（1≤x≤30，且 x 為整數）且后 10 天的銷售價格 Q（元/公斤）與銷售時間 x（天）之間有如下關系：Q=x+20（21≤x≤30，且 x 為整數），

（1）觀察表格，請用你所學過的一次函數、二次函數和反比例函數的有關知識寫出 P 與 x 所滿足的函數關系式，并求出四月份后十天中日銷售利潤 W 的最大值；

（2）進入五月份，這種水果在臺灣大量上市，受此影響這種水果的購進價格每公斤降低了 5 元，同時公司也加大了宣傳力度，結果五月份第一天的銷售量比上一個月最后一天的銷售量增加了 a%，同時價格也比上一個月最后一天的價格增加了 0.4a%，結果在五月的第一天就獲得了 1600 元的利潤，請參考一下數據，估算 a 的整數值．（參考數據：152=225，162=256，172=289）

Answer 1

【答案】（1）答案見解析 （2）63

【解析】

（1）設P與x之間的函數關系式為y=kx+b，將9（1，78），（2，76）代入關系式就可以求出結論；由日銷售利潤=每天的銷售量×每公斤的利潤就可以分別表示出W與x的關系；
（２）先分別求出5月份第一的進價，第一天的銷售量，銷售價格，同樣由日銷售利潤=每天的銷售量×每公斤的利潤建立方程求出其解即可．

解：（1）設 P 與 x 之間的函數關系式為 y=kx+b，由題意，得，解得： ，

∴P=﹣2x+80；

（2）W=（Q﹣20）P，

=（x+20﹣20）（﹣2x+80），

=﹣2x2+80x（21≤x≤30，且x為整數），

∴拋物線的對稱軸x=20．

又∵21≤x≤30，且 x為整數，

∴當 x=21 時，W 有最大值，最大值=798．

（3）當 x= 30 時，P=20，Q2=50，

則 20（1+a%）〔50（1+0.4 a%）﹣15〕=1600，設 a%=m，則20（1+m）（50+20m﹣15）= 1600，即 4m2+11m﹣9=0，

m= ，

∵162=256

∴m=﹣（舍去）或 m==0.625，即整數 a 的值為 63．