Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C在BA的延長線上，CA=AO，點D在⊙O上，∠ABD=30°．

⑴求證：CD是⊙O的切線；

⑵若點P在直線AB上，⊙P與⊙O外切于點B，與直線CD相切于點E，設⊙O與⊙P的半徑分別為r與R，求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明：連結OD、DA

∵AB是⊙O的直徑，∴∠BDA=90°

又∠ABD=30°，∴AD=AB=OA

又AC=AO，∴∠ODC=90°

∴CD切⊙O于點D

（2）方法一：連結PE，由（1）知∠DAB=60°，又AD=AC

∴∠C=30°

又∵DE切⊙P于E，∴PE⊥CE

∴PE=CP

又PE=BP=R，CA=AO=OB=r

∴3r=R，即

方法二：連結PE，

又∵DE切⊙P于E，∴PE⊥CE

∴OD∥PE

∴=

即，∴

【解析】

（1）欲證：CD是⊙O的切線，只要轉化為證明∠ODC=90°即可；

（2）連接PE，易證，又PE=BP=R，CA=AO=OB=r，即可得到結果．