Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點O，過O做EF∥BC分別交AB、AC于E、F.

（1）求證：EF=BE+CF.

（2）在△ABC中，∠ABC的角平分線與∠ACB相鄰的外角的平分線相交于點O，過O做EF∥BC分別交AB、AC于E、F，請你畫出圖形（不要求尺規作圖），并直接寫出EF、BE、CF之間的關系.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）作圖見解析；EF=BE-CF

【解析】

（1）根據角平分線和平行線的性質分別證明∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，從而得出EO=BE,FO=CF,即可解決問題；

（2）根據角平分線的額作法步驟，分別作出∠ABC和∠ACB的角平分線，兩條角平分線的交點即為點O，

（1）證明：∵BO平分∠ABC，

∴∠EBO=∠OBC，

∵EF∥BC，

∴∠EOB=∠OBC，

∴∠EBO=∠EOB，

∴EO=BE，

同理：FO=CF，

∴EO+FO=BE+CF，

即EF=BE+CF.

（2）以點B為圓心，以任意長為半徑作弧，分別交BA和BC與點M和點D；

分別以M和D為圓心，以大于MD的一半為半徑作弧，交于點N，作射線BN，則射線BN即為∠ABC的角平分線；

同理作∠ACB外角的角平分線，兩線交于點O，過點O作BC的平行線交AB與點E，交AC于點F.如圖所示：

∵OE∥BC，

∴∠EOB=∠CBO,

∵BN是∠ABC的角平分線，

∴∠ABN=∠CBO,

∴∠ABN=∠EOB,

∴BE=OE,

∵OE∥BC，

∴∠OCK=∠FOC,

∵CU是∠ACK的角平分線，

∴∠OCK=∠FCO,

∴∠FCO=∠FOC,

∴FO=CF,

∴BE=EO=FO+EF=EF+CF,

∴EF=BE-CF