Question

【題目】如圖，A、B兩點的坐標分別為（0，6），（0，3），點P為x軸正半軸上一動點，過點A作AP的垂線，過點B作BP的垂線，兩垂線交于點Q，連接PQ，M為線段PQ的中點．

（1）求證：A、B、P、Q四點在以M為圓心的同一個圓上；

（2）當⊙M與x軸相切時，求點Q的坐標；

（3）當點P從點（2，0）運動到點（3，0）時，請直接寫出線段QM掃過圖形的面積．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) Q的坐標為（3，9）;(3).
【解析】（1）解：連接AM、BM，

∵AQ⊥AP，BQ⊥BP∵△APQ和△BPQ都是直角三角形，M是斜邊PQ的中點
∴AM＝BM＝PM=QM= PQ，
∴A、B、P、Q四點在以M為圓心的同一個圓上。
（2）解：作MG⊥y軸于G，MC⊥x軸于C，

∵AM＝BM
∴G是AB的中點，由A（0，6），B（0，3）可得MC＝OG＝4.5
∴在點P運動的過程中，點M到x軸的距離始終為4.5
則點Q到x軸的距離始終為9，即點Q的縱坐標始終為9，
當⊙M與x軸相切時則PQ⊥x軸，作QH⊥y軸于H，

HB＝9－3＝6，設OP＝HQ＝x
由△BOP∽△QHB，得x2＝3×6＝8，x＝3
∴點Q的坐標為（3 ，9）
（3）解：由相似可得：當點P在P1（2，0）時，Q1（4，9）則M1（3，4.5）
當點P在P2（3，0）時，Q2（6，9），則M2（4.5，4.5）
∴M1M2＝ －3＝ ， Q1Q2＝6－4＝2
線段QM掃過的圖形為梯形M1M2Q2Q1

其面積為：×(＋2)×4.5＝.

【解析】

根據已知可得出三角形APQ和三角形BPQ都是直角三角形，再根據這個條件結合題意直接解答此題.

（1）解：連接AM、BM，

∵AQ⊥AP，BQ⊥BP∵△APQ和△BPQ都是直角三角形，M是斜邊PQ的中點
∴AM＝BM＝PM=QM= PQ，
∴A、B、P、Q四點在以M為圓心的同一個圓上。
（2）解：作MG⊥y軸于G，MC⊥x軸于C，

∵AM＝BM
∴G是AB的中點，由A（0，6），B（0，3）可得MC＝OG＝4.5
∴在點P運動的過程中，點M到x軸的距離始終為4.5
則點Q到x軸的距離始終為9，即點Q的縱坐標始終為9，
當⊙M與x軸相切時則PQ⊥x軸，作QH⊥y軸于H，

HB＝9－3＝6，設OP＝HQ＝x
由△BOP∽△QHB，得x2＝3×6＝8，x＝3
∴點Q的坐標為（3 ，9）
（3）解：由相似可得：當點P在P1（2，0）時，Q1（4，9）則M1（3，4.5）
當點P在P2（3，0）時，Q2（6，9），則M2（4.5，4.5）
∴M1M2＝ －3＝ ， Q1Q2＝6－4＝2
線段QM掃過的圖形為梯形M1M2Q2Q1

其面積為：×( ＋2)×4.5＝.