Question

【題目】操作發現：如圖，已知△ABC和△ADE均為等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，將這兩個三角形放置在一起，使點B，D，E在同一直線上，連接CE．

（1）如圖1，若∠ABC＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED＝55°，求證：△BAD≌△CAE；

（2）在（1）的條件下，求∠BEC的度數；

拓廣探索：（3）如圖2，若∠CAB＝∠EAD＝120°，BD＝4，CF為△BCE中BE邊上的高，請直接寫出EF的長度．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）70°；（3）2

【解析】

（1）根據SAS證明△BAD≌△CAE即可．
（2）利用全等三角形的性質解決問題即可．
（3）同法可證△BAD≌△CAE，推出EC=BD=4，由∠BEC=∠BAC=120°，推出∠FCE=30°即可解決問題．

（1）證明：如圖1中，

∵∠ABC＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED，

∴∠EAD＝∠CAB，

∴∠EAC＝∠DAB，

∵AE＝AD，AC＝AB，

∴△BAD≌△CAE（SAS）．

（2）解：如圖1中，設AC交BE于O．

∵∠ABC＝∠ACB＝55°，

∴∠BAC＝180°﹣110°＝70°，

∵△BAD≌△CAE，

∴∠ABO＝∠ECO，

∵∠EOC＝∠AOB，

∴∠CEO＝∠BAO＝70°，

即∠BEC＝70°．

（3）解：如圖2中，

∵∠CAB＝∠EAD＝120°，

∴∠BAD＝∠CAE，

∵AB＝AC，AD＝AE，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴∠BAD＝∠ACE，BD＝EC＝4，

同理可證∠BEC＝∠BAC＝120°，

∴∠FEC＝60°，

∵CF⊥EF，

∴∠F＝90°，

∴∠FCE＝30°，

∴EF＝EC＝2.