Question

【題目】如圖，在直角梯形 AOBC 中，AC∥OB，且 OB＝6，AC＝5，OA＝4．

（1）求 B、C 兩點的坐標；

（2）以 O、A、B、C 中的三點為頂點可組成哪幾個不同的三角形？

（3）是否在邊 AC 和 BC(含端點)上分別存在點 M 和點 N，使得△MON 的面積最大時，它的周長還最短？若存在，說明理由，并求出這時點 M、N 的坐標；若不存在，為什么？

Answer 1

【答案】（1）B點坐標為：(6，0)，C點坐標為：(5，4)；（2）可組成的三角形為：△AOB，△AOC，△BOC，△ABC四個不同的三角形；（3）存在，M點坐標為：(3，4)，N點坐標為：(6，0)，理由見解析.

【解析】

（1）根據OB=6，點B在軸可得B點坐標，再利用平行線性質結合AC=5以及OA=4進一步得出點C坐標即可；

（2）根據不在同一條直線上的三點可以組成一個三角形，得到以O、A、B、C中的三點為頂點可組成4個不同的三角形，從而得出答案；

（3）如圖，過點M作MP∥OA交ON于點P，過點N作NQ∥OB，分別交OA、MP于點Q、G，則△MON的面積=△OMP的面積+△NMP的面積=，據此進一步根據題意分析討論即可.

（1）∵OB=6，，

∴B點坐標為：(6，0)，

∵AC∥OB，AC=5，OA=4，

∴C點坐標為：(5，4)；

（2）以 O、A、B、C 中的三點為頂點可組成的三角形為：△AOB，△AOC，△BOC，△ABC四個不同的三角形；

（3）

如圖，過點M作MP∥OA交ON于點P，過點N作NQ∥OB，分別交OA、MP于點Q、G，

則△MON的面積=△OMP的面積+△NMP的面積=，

∵MP≤OA，QN≤OB，

∴當點N與點B重合，點M在AC上運動時，QN、MP同時取得最大值BO、OA，

∴△MON的最大面積=，

∵點N與點B重合，

∴N點坐標為(6，0)，

如圖1，設O點關于AC的對稱點為D，連接DB交AC于點M，

此時△MON的面積最大，周長最短，

∵AM∥BO，

∴，

即，

∴AM=3，

∴M點坐標為(3，4)，

∴存在點M與點N，使得△MON的面積最大時，其周長最短，此時M點坐標為：(3，4)，N點坐標為：(6，0).