Question

【題目】已知直線．

（1）如下圖，點在直線的左側，請寫出，，之間的數量關系，并說明理由：

（2）如下圖，當點在線段上時，分別平分，，此時的度數為_________°

（3）如下圖，當點在直線的左側時，分別平分，，請直接寫出和的數量關系 ；

（4）如下圖，當點在直線的右側時，分別平分，，請直接寫出和的數量關系 ；

Answer 1

【答案】（1）∠ABE＋∠CDE＝∠BED，理由見解析；（2）90；（3）∠BFD＝∠BED；（4）2∠BFD＋∠BED＝360°

【解析】

（1）首先作EF∥AB，根據直線AB∥CD，可得EF∥CD，所以∠ABE＝∠1，∠CDE＝∠2，據此推得∠ABE＋∠CDE＝∠BED即可．

（2）作GF∥AB，根據∠ABD＋∠CDB＝180°，分別平分，，得到∠BFD＝∠BFG＋∠DFG=∠ABF＋∠CDF=(∠ABD＋∠CDB)=90°；

（3）首先根據BF，DF分別平分∠ABE，∠CDE，推得∠ABF＋∠CDF＝（∠ABE＋∠CDE）；然后由（1），可得∠BFD＝∠ABF＋∠CDF，∠BED＝∠ABE＋∠CDE，據此推得∠BFD＝∠BED．

（4）首先過點E作EG∥CD，再根據AB∥CD，EG∥CD，推得AB∥CD∥EG，所以∠ABE＋∠BEG＝180°，∠CDE＋∠DEG＝180°，據此推得∠ABE＋∠CDE＋∠BED＝360°；然后根據∠BFD＝∠ABF＋∠CDF，以及BF，DF分別平分∠ABE，∠CDE，推得2∠BFD＋∠BED＝360°即可．

（1）∠ABE＋∠CDE＝∠BED．

理由：如圖1，作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴EF∥CD，

∴∠ABE＝∠1，∠CDE＝∠2，

∴∠ABE＋∠CDE＝∠1＋∠2＝∠BED，

即∠ABE＋∠CDE＝∠BED．

故答案為：∠ABE＋∠CDE＝∠BED；

（2）如圖，作GF∥AB，

∴AB∥GF∥CD

∴∠ABD＋∠CDB＝180°，∠BFG=∠ABF，∠DFG=∠CDF

∵分別平分，，

∴∠BFD＝∠BFG＋∠DFG=∠ABF＋∠CDF=∠ABD +∠CDB =(∠ABD＋∠CDB)=90°，

故答案為：90；

（3）∠BFD＝∠BED．

理由：如圖

∵BF，DF分別平分∠ABE，∠CDE，

∴∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE，

∴∠ABF＋∠CDF＝∠ABE＋∠CDE＝（∠ABE＋∠CDE），

由（1）可得∠BFD＝∠ABF＋∠CDF＝（∠ABE＋∠CDE）

又∠BED＝∠ABE＋∠CDE，

∴∠BFD＝∠BED．

（4）2∠BFD＋∠BED＝360°．

理由：如圖3，過點E作EG∥CD，

∵AB∥CD，EG∥CD，

∴AB∥CD∥EG，

∴∠ABE＋∠BEG＝180°，∠CDE＋∠DEG＝180°，

∴∠ABE＋∠CDE＋∠BED＝360°，

由（1）知，∠BFD＝∠ABF＋∠CDF，

又∵BF，DF分別平分∠ABE，∠CDE，

∴∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE，

∴∠BFD＝（∠ABE＋∠CDE），

∴2∠BFD＋∠BED＝360°．

故答案為：2∠BFD＋∠BED＝360°．